Massimi e minimi vincolati su circonferenza con Lagrange

Salve, mi aiutate a trovare i massimi e minimi vincolati ad una circonferenza con i moltiplicatori di Lagrange? Ho provato ad impostare la la funzione lagrangiana: ho fatto già le derivate parziali ma penso di aver sbagliato, le ho messe a sistema ma non so come continuare.

Potete aiutarmi mostrandomi i passaggi per trovare i punti critici? Grazie :)

con vincolo .

In Uni - Analisi - Domanda di nea16

Soluzioni

Ciao nea16 arrivo :D

Risposta di Ifrit
Abbiamo la funzione:

$L(x, y, \lambda)= x^3+4x y^2-4x-\lambda(x^2+y^2-1)$

Troviamo le derivate parziali:

$L_x(x, y, \lambda)= 3x^2+4y^2-4-2\lambda x$

$L_y(x, y, \lambda)= 8x y -2\lambda y$

$L_\lambda (x, y, \lambda)= -(x^2+y^2-1)$

Impostiamo il sistema:

$\begin{cases}3x^2+4y^2-4-2\lambda x=0\\ 8 x y -2\lambda y=0\\ x^2+y^2-1=0\end{cases}$

Per risolvere il sistema partiamo dalla seconda equazione:

$8x y-2\lambda y=0\iff y(8x-2\lambda)=0$

Da cui otteniamo che:

• y=0

Sostituendo nella prima e nella terza equazione abbiamo:

$\begin{cases}3x^2-4-2\lambda x=0\\ x^2-1=0\end{cases}$

dall'ultima equazione otteniamo che x=-1 o x= 1

sostituendo nella prima per x=-1 abbiamo:

$3-4+2\lambda= 0\implies \lambda = \frac{1}{2}$

Quindi abbiamo il primo punto

$\left(-1,0,\frac{1}{2}\right)$

Per x= 1 procediamo allo stesso modo ottenendo:

$\left(1, 0, -\frac{1}{2}\right)$

• 8x=2 λ da cui 4x=λ

Procediamo per sostituzione nella prima equazione del sistema e nella terza:

$\begin{cases}3x^2+4y^2-4-2(4x)x=0\\ x^2+y^2=1\end{cases}$

Dalla prima equazione abbiamo:

$\begin{cases}-5x^2+4y^2= 4\\ x^2+y^2=1\end{cases}$

A questo punto poniamo

il sistema si linearizza come:

$\begin{cases}-5u+4v= 4\\ u+v=1\end{cases}$

Per sostituzione:

dunque:

$-5+5v+4v=4\implies v= \frac{9}{9}=1\implies y^2=1\implies y= \pm 1$

mentre:

$u= 1-1=0\implies x^2=0\iff x=0$

i punti sono quindi:

$\left(0, -1, 0\right)$

$\left(0, 1, 0\right)$

Abbiamo concluso :|

Risposta di Ifrit
..avevo problemi per risolvere il secondo sistema, adesso ho capito. Grazie milleeeee e scusa per il disturbo :)

Risposta di nea16