Massimi e minimi vincolati su circonferenza con Lagrange

Salve, mi aiutate a trovare i massimi e minimi vincolati ad una circonferenza con i moltiplicatori di Lagrange? Ho provato ad impostare la la funzione lagrangiana: ho fatto già le derivate parziali ma penso di aver sbagliato, le ho messe a sistema ma non so come continuare.

Potete aiutarmi mostrandomi i passaggi per trovare i punti critici? Grazie :)

con vincolo .

Domanda di nea16

Soluzioni

Ciao nea16 arrivo :D
Risposta di Ifrit
Abbiamo la funzione:
$L(x, y, \lambda)= x^3+4x y^2-4x-\lambda(x^2+y^2-1)$
Troviamo le derivate parziali:
$L_x(x, y, \lambda)= 3x^2+4y^2-4-2\lambda x$
$L_y(x, y, \lambda)= 8x y -2\lambda y$
$L_\lambda (x, y, \lambda)= -(x^2+y^2-1)$
Impostiamo il sistema:
$\begin{cases}3x^2+4y^2-4-2\lambda x=0\\ 8 x y -2\lambda y=0\\ x^2+y^2-1=0\end{cases}$
Per risolvere il sistema partiamo dalla seconda equazione:
$8x y-2\lambda y=0\iff y(8x-2\lambda)=0$
Da cui otteniamo che:
• y=0
Sostituendo nella prima e nella terza equazione abbiamo:
$\begin{cases}3x^2-4-2\lambda x=0\\ x^2-1=0\end{cases}$
dall'ultima equazione otteniamo che x=-1 o x= 1

sostituendo nella prima per x=-1 abbiamo:
$3-4+2\lambda= 0\implies \lambda = \frac{1}{2}$
Quindi abbiamo il primo punto
$\left(-1,0,\frac{1}{2}\right)$
Per x= 1 procediamo allo stesso modo ottenendo:
$\left(1, 0, -\frac{1}{2}\right)$
• 8x=2 λ da cui 4x=λ

Procediamo per sostituzione nella prima equazione del sistema e nella terza:
$\begin{cases}3x^2+4y^2-4-2(4x)x=0\\ x^2+y^2=1\end{cases}$
Dalla prima equazione abbiamo:
$\begin{cases}-5x^2+4y^2= 4\\ x^2+y^2=1\end{cases}$
A questo punto poniamo
il sistema si linearizza come:
$\begin{cases}-5u+4v= 4\\ u+v=1\end{cases}$
Per sostituzione:
dunque:
$-5+5v+4v=4\implies v= \frac{9}{9}=1\implies y^2=1\implies y= \pm 1$
mentre:
$u= 1-1=0\implies x^2=0\iff x=0$
i punti sono quindi:
$\left(0, -1, 0\right)$
$\left(0, 1, 0\right)$

Abbiamo concluso :|
Risposta di Ifrit
..avevo problemi per risolvere il secondo sistema, adesso ho capito. Grazie milleeeee e scusa per il disturbo :)
Risposta di nea16