Soluzioni
  • Ciao nea16 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo la funzione:

    L(x, y, \lambda)= x^3+4x y^2-4x-\lambda(x^2+y^2-1)

    Troviamo le derivate parziali:

    L_x(x, y, \lambda)= 3x^2+4y^2-4-2\lambda x

    L_y(x, y, \lambda)= 8x y -2\lambda y

    L_\lambda (x, y, \lambda)= -(x^2+y^2-1)

    Impostiamo il sistema:

    \begin{cases}3x^2+4y^2-4-2\lambda x=0\\ 8 x y -2\lambda y=0\\ x^2+y^2-1=0\end{cases}

    Per risolvere il sistema partiamo dalla seconda equazione:

    8x y-2\lambda y=0\iff y(8x-2\lambda)=0 

    Da cui otteniamo che:

    • y=0

    Sostituendo nella prima e nella terza equazione abbiamo:

    \begin{cases}3x^2-4-2\lambda x=0\\ x^2-1=0\end{cases}

    dall'ultima equazione otteniamo che x=-1 o x= 1

     

    sostituendo nella prima per x=-1 abbiamo:

    3-4+2\lambda= 0\implies \lambda = \frac{1}{2}

    Quindi abbiamo il primo punto

    \left(-1,0,\frac{1}{2}\right)

    Per x= 1 procediamo allo stesso modo ottenendo:

    \left(1, 0, -\frac{1}{2}\right)

    • 8x=2 λ da cui 4x=λ

     

    Procediamo per sostituzione nella prima equazione del sistema e nella terza:

    \begin{cases}3x^2+4y^2-4-2(4x)x=0\\ x^2+y^2=1\end{cases}

    Dalla prima equazione abbiamo:

    \begin{cases}-5x^2+4y^2= 4\\ x^2+y^2=1\end{cases}

    A questo punto poniamo

    u= x^2, v= y^2

    il sistema si linearizza come:

    \begin{cases}-5u+4v= 4\\ u+v=1\end{cases}

    Per sostituzione:

    u= 1-v

    dunque:

    -5+5v+4v=4\implies v= \frac{9}{9}=1\implies y^2=1\implies y= \pm 1

    mentre:

    u= 1-1=0\implies x^2=0\iff x=0

    i punti sono quindi:

    \left(0, -1, 0\right)

    \left(0, 1, 0\right)

     

    Abbiamo concluso :|

    Risposta di Ifrit
  • ..avevo problemi per risolvere il secondo sistema, adesso ho capito.   Grazie milleeeee e scusa per il disturbo :) 

    Risposta di nea16
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