Massimi e minimi vincolati su circonferenza con Lagrange

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Salve, mi aiutate a trovare i massimi e minimi vincolati ad una circonferenza con i moltiplicatori di Lagrange? Ho provato ad impostare la la funzione lagrangiana: ho fatto già le derivate parziali ma penso di aver sbagliato, le ho messe a sistema ma non so come continuare.

 

Potete aiutarmi mostrandomi i passaggi per trovare i punti critici? Grazie :)

 

f(x,y) = x^3+4xy^2-4x con vincolo x^2+y^2-1 = 0.

Domanda di nea16

 
Soluzioni

  • Ciao nea16 arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Abbiamo la funzione:

    L(x, y, λ) = x^3+4x y^2-4x-λ(x^2+y^2-1)

    Troviamo le derivate parziali:

    L_x(x, y, λ) = 3x^2+4y^2-4-2λ x

    L_y(x, y, λ) = 8x y-2λ y

    L_λ (x, y, λ) = -(x^2+y^2-1)

    Impostiamo il sistema:

    3x^2+4y^2-4-2λ x = 0 ; 8 x y-2λ y = 0 ; x^2+y^2-1 = 0

    Per risolvere il sistema partiamo dalla seconda equazione:

    8x y-2λ y = 0 ⇔ y(8x-2λ) = 0 

    Da cui otteniamo che:

    • y=0

    Sostituendo nella prima e nella terza equazione abbiamo:

    3x^2-4-2λ x = 0 ; x^2-1 = 0

    dall'ultima equazione otteniamo che x=-1 o x= 1

     

    sostituendo nella prima per x=-1 abbiamo:

    3-4+2λ = 0 ⇒ λ = (1)/(2)

    Quindi abbiamo il primo punto

    (-1,0,(1)/(2))

    Per x= 1 procediamo allo stesso modo ottenendo:

    (1, 0,-(1)/(2))

    • 8x=2 λ da cui 4x=λ

     

    Procediamo per sostituzione nella prima equazione del sistema e nella terza:

    3x^2+4y^2-4-2(4x)x = 0 ; x^2+y^2 = 1

    Dalla prima equazione abbiamo:

    -5x^2+4y^2 = 4 ; x^2+y^2 = 1

    A questo punto poniamo

    u = x^2, v = y^2

    il sistema si linearizza come:

    -5u+4v = 4 ; u+v = 1

    Per sostituzione:

    u = 1-v

    dunque:

    -5+5v+4v = 4 ⇒ v = (9)/(9) = 1 ⇒ y^2 = 1 ⇒ y = ±1

    mentre:

    u = 1-1 = 0 ⇒ x^2 = 0 ⇔ x = 0

    i punti sono quindi:

    (0,-1, 0)

    (0, 1, 0)

     

    Abbiamo concluso :|

    Risposta di Ifrit

  • ..avevo problemi per risolvere il secondo sistema, adesso ho capito.   Grazie milleeeee e scusa per il disturbo :) 

    Risposta di nea16
 
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