Soluzioni
  • Buongiorno Fuivito arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • No purtroppo non è una equazione differenziale lineare del primo ordine (se ci fai caso appare un 2 all'esponente della y)

    E' pero una equazione differenziale a variabili separabili

    Abbiamo  il problema

    \begin{cases}y'= 7 (1-y^2)\\y(0)=0\end{cases}

    L'equazione differenziale è della forma:

    y'= a(x)b(y)

    dove

    a(x)= 7

    continua in tutto R

    b(y)= 1-y^2

    continua e derivabile in tutto R

    Le condizioni del teorema di esistenza e unicità locale vengono soddisfatte quindi abbiamo assicurata l'esistenza e unicità della soluzione in un intorno del punto iniziale (0, 0)

    La prima cosa da fare è determiare le soluzioni costanti della equazione differenziale e si determinano imponendo che:

    b(y)=0\iff 1-y^2=0\iff y=-1\vee y=1

    Abbiamo due soluzioni costanti ma non soddisfano la condizione iniziale quindi non sono soluzioni del problema di Cauchy.

    Ora separiamo le variabili:

    \int\frac{y'}{1-y^2}dx= \int7dx

    Risolvendo gli integrali (il primo è per fratti semplici)

    \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+y}{1-y}\right|= 7x+c

    Determiniamo la costante imponendo la condizione iniziale ottenendo 

    c=0 

    L'equazione precedente diventa:

    \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+y}{1-y}\right|= 7x

    Isoliamo y ricordando che stiamo lavorando in (-1, 1) quindi il modulo può essere elimitato

    \ln\left(\frac{1+y}{1-y}\right)= 14x

    \frac{1+y}{1-y}= e^{14x}

    Moltiplichiamo membro a membro per 1-y:

    1+y= e^{14x}(1-y)

    1+y= e^{14x}-e^{14x}y

    Portiamo al primo membro il termine con la y:

    y(1+e^{14x})= e^{14x}-1

    isolando y:

    y(x)= \frac{e^{14x}-1}{e^{14x}+1}

     

    Spero di non aver commesso errori di conto :/

    Risposta di Ifrit
  • Non mi torna una cosa anche se il risultato è giusto quindi ovviamente hai ragione.

     

    Qunado risolvi l'integrale della y attraverso il metodo dei fratti semplici raggruppo quel risultaro mettendo l'argomento del logaritmo come una frazione.

    non riesco a farla risultare.

    A me esce che

     

    \int{\frac{1}{\left(1+y)\left(1-y)}}

     

     

    corrisponde a:

     

     

    {\frac{1}{2}{\int{\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1-y}}}

     

     

    che risulta quindi:

     

     

    {\frac{1}{2}\left({\log{1-y}}{+\log{1+y}}

     

     

     

    Un'altra cosa: se al posto di considerare

     

    {a\left(x)=7}

     

    {b\left(y)=\left(1-y)}

     

     

    avessi prima moltiplicato quei due fattori e avessi considerato

     

    {a\left(x)=7}

     

    e

     

     

    {b\left(y)=-7y^{2}}

     

     

    sarebbe stato comunque corretto?

     

     

     

     

    Risposta di Fuivito
  • Scusami per il ritardo fuivito purtroppo ho delle domande arretrate xD 

    Per fratti semplici l'integrale da risolvere è:

    \frac{1}{2}\int \frac{1}{y+1}-\frac{1}{y-1}dy= \frac{1}{2}\left(\ln|y+1|-\ln|y-1|\right)

     

    Per la proprietà fondamentale dei logaritmi:

    \ln(a)-\ln(b)= \ln\left(\frac{a}{b}\right)\quad a, b\textgreater 0

    il risultato si esprime come:

    \frac{1}{2}\ln\left|\frac{y+1}{y-1}\right|

    per la seconda domanda:

    Sì sarebbe errato, per poter utilizzare tale metodo di risoluzione, l'equazione differenziale deve essere a variabili separabili cioè, il secondo membro deve essere espresso come prodotto di due funzioni, una che dipende esclusivamente da x e l'altra che dipende esclusivamente da y.

    In questo caso abbiamo:

    a(x)= 7 

    che è una funzione costante in realtà ma non fa niente

    b(y)= 1-y^2

    che è una funzione dipendente dalla sola variabile y.

    Facendo come proponi, perdi il prodotto ;)

    Risposta di Ifrit
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