Equazione differenziale del 1 ordine con condizione iniziale

Ciao ragazzi, mi trovo in difficoltà con un'equzione differenziale di primo ordine da risolvere con una condizione iniziale. Riuscireste a darmi una mano?

y'= 7(1-y^(2))

con la condizione iniziale

y(0) = 0

Io ho provato a vederla come un'equazione differenziale lineare del primo ordine, ma credo sia il metodo sbagliato visto che non mi esce corretto il risultato.

Vi posto qui di seguito come ho provato a ragionare: (consigli su come ragionare in generale le equazioni differenziali di ordine 1 sono ovviamente graditissimi anche se da quanto ho potuto notare fino ad ora, sembrano abbastanza meccaniche).

y'+7y^(2) = 7

e^(7x)y'+7y^(2)e^(7x) = 7e^(7x)

∫_(0)^(x)D(y^(2)(t)e^(7t))dt = ∫_(0)^(x)7e^(7t)dt

dalla quale arrivo a:

y^(2)(x) = 1-(1)/(e^(7x))

Grazie in anticipo,

Fuivito

Domanda di Fuivito
Soluzioni

Buongiorno Fuivito arrivo :D

Risposta di Ifrit

No purtroppo non è una equazione differenziale lineare del primo ordine (se ci fai caso appare un 2 all'esponente della y)

E' pero una equazione differenziale a variabili separabili

Abbiamo  il problema

y'= 7 (1-y^2) ; y(0) = 0

L'equazione differenziale è della forma:

y'= a(x)b(y)

dove

a(x) = 7

continua in tutto R

b(y) = 1-y^2

continua e derivabile in tutto R

Le condizioni del teorema di esistenza e unicità locale vengono soddisfatte quindi abbiamo assicurata l'esistenza e unicità della soluzione in un intorno del punto iniziale (0, 0)

La prima cosa da fare è determiare le soluzioni costanti della equazione differenziale e si determinano imponendo che:

b(y) = 0 ⇔ 1-y^2 = 0 ⇔ y = -1 ∨ y = 1

Abbiamo due soluzioni costanti ma non soddisfano la condizione iniziale quindi non sono soluzioni del problema di Cauchy.

Ora separiamo le variabili:

∫(y')/(1-y^2)dx = ∫7dx

Risolvendo gli integrali (il primo è per fratti semplici)

(1)/(2)ln|(1+y)/(1-y)| = 7x+c

Determiniamo la costante imponendo la condizione iniziale ottenendo 

c = 0 

L'equazione precedente diventa:

(1)/(2)ln|(1+y)/(1-y)| = 7x

Isoliamo y ricordando che stiamo lavorando in (-1, 1) quindi il modulo può essere elimitato

ln((1+y)/(1-y)) = 14x

(1+y)/(1-y) = e^(14x)

Moltiplichiamo membro a membro per 1-y:

1+y = e^(14x)(1-y)

1+y = e^(14x)-e^(14x)y

Portiamo al primo membro il termine con la y:

y(1+e^(14x)) = e^(14x)-1

isolando y:

y(x) = (e^(14x)-1)/(e^(14x)+1)

Spero di non aver commesso errori di conto :/

Risposta di Ifrit

Non mi torna una cosa anche se il risultato è giusto quindi ovviamente hai ragione.

Qunado risolvi l'integrale della y attraverso il metodo dei fratti semplici raggruppo quel risultaro mettendo l'argomento del logaritmo come una frazione.

non riesco a farla risultare.

A me esce che

∫(1)/((1+y)(1-y))

corrisponde a:

(1)/(2)∫(1)/(1+y)+(1)/(1-y)

che risulta quindi:

(1)/(2)(log(1-y)+log(1+y)

Un'altra cosa: se al posto di considerare

a(x) = 7

b(y) = (1-y)

avessi prima moltiplicato quei due fattori e avessi considerato

a(x) = 7

e

b(y) = -7y^(2)

sarebbe stato comunque corretto?

Risposta di Fuivito

Scusami per il ritardo fuivito purtroppo ho delle domande arretrate xD 

Per fratti semplici l'integrale da risolvere è:

(1)/(2)∫ (1)/(y+1)-(1)/(y-1)dy = (1)/(2)(ln|y+1|-ln|y-1|)

Per la proprietà fondamentale dei logaritmi:

ln(a)-ln(b) = ln((a)/(b)) a, b > 0

il risultato si esprime come:

(1)/(2)ln|(y+1)/(y-1)|

per la seconda domanda:

Sì sarebbe errato, per poter utilizzare tale metodo di risoluzione, l'equazione differenziale deve essere a variabili separabili cioè, il secondo membro deve essere espresso come prodotto di due funzioni, una che dipende esclusivamente da x e l'altra che dipende esclusivamente da y.

In questo caso abbiamo:

a(x) = 7 

che è una funzione costante in realtà ma non fa niente

e 

b(y) = 1-y^2

che è una funzione dipendente dalla sola variabile y.

Facendo come proponi, perdi il prodotto ;)

Risposta di Ifrit

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