Soluzioni
  • Abbiamo una parabola di equazione:

    \Gamma:y= a x^2+b x+c

    dobbiamo determinare i parametri a, b, c, imponendo le condizioni di appartenenza:

    A(1, 5/2)\in \Gamma \iff \frac{5}{2}= a+b+c\iff 5= 2a+2b+2c

    B\in \Gamma\iff 5= 4a+2b+c

    C\in\Gamma\iff \frac{1}{2}= a-b+c\iff 2a-2b+2c=1

    Abbiamo quindi il sistema:

    \begin{cases}2a+2b+2c= 5\\ 4a+2b+c= 5\\ 2a-2b+2c=1\end{cases}

    Risolvendo il sistema hai che:

    a= \frac{1}{2}, b=1, c=1

    quindi l'equazione della parabola è:

    y= \frac{1}{2}x^2+x+1

    Per capire la posizione reciproca tra la retta e la parabola devi semplicemente impostare il sistema:

    \begin{cases}y= \frac{1}{2}x^2+x+1\\ y=x-2\end{cases}

    Procedendo per sostituzione otterrai l'equazione risolvente:

     

    \frac{1}{2}x^2+x+1= x-2 

    Portanto al primo membro:

    \frac{1}{2}x^2+3=0

    Abbiamo ottenuto una equazione pura che non ammette soluzioni, questo perché se portiamo al secondo membro il 3 e lo cambiamo di segno  otterremo:

    \frac{1}{2}x^2=-3\implies x^2= -6

     

    Questa equazione non ammette soluzioni, e questo vuol dire che nemmeno il sistema ammette soluzioni, quindi non abbiamo intersezioni tra la parabola e la retta considerata. 

     

    Possiamo concludere che la retta è esterna alla parabola. Se hai domande, ci sono errori, ci sono passaggi non chiari, sono qui :D

    Risposta di Ifrit
  • Grazie mille! Scusa ma il sistema l'hai risolto con il metodo di Sarrus?

    Risposta di Mindy
  • Puoi risolverlo in diversi modi (che trovi elencati qui e spiegati nelle lezioni successive: sistemi lineari).

    Volendo possiamo risolverlo con Cramer (non confonderti con i nomi ;) )

    Abbiamo la matrice:

    M=\begin{pmatrix}2& 2&2\\ 4&2&1\\ 2&-2&2\end{pmatrix}

    Calcoliamo il determinante e qui sì, usiamo la regola di Sarrus (che serve per il determinante):

    \mbox{det}(M)=-24

    Adesso andiamo a calcolare le soluzioni secondo Cramer:

    a= \frac{\mbox{det}\begin{pmatrix}5& 2&2\\ 5&2&1\\ 1&-2&2\end{pmatrix}}{\mbox{det}(M)}= \frac{-12}{-24}= \frac{1}{2}

    b= \frac{\mbox{det}\begin{pmatrix}2&5&2\\ 4&5&1\\ 2&1&2\end{pmatrix}}{\mbox{det}(M)}= \frac{-24}{-24}=1

    c= \frac{\mbox{det}\begin{pmatrix}2&2&5\\ 4&2&5\\ 2&-2&1\end{pmatrix}}{\mbox{det}(M)}= \frac{-24}{-24}=1

    Per il calcolo del determinante utilizza Sarrus. :)

    Risposta di Ifrit
  • Grazie mille!

    Risposta di Mindy
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