Integrazione per sostituzione con funzioni goniometriche

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Non riesco a calcolare un integrale con funzioni goniometriche, ho provato a calcolarlo per sostituzione ma senza successo:

 

∫(tan((4)/(3)x))/(cos^2((4)/(3)x))dx

 

Il libro propone come sostituzione t = cos((4x)/(3)).

Domanda di IlCommodoro

 
Soluzioni

  • A conti fatti l'esercizio chiede di determinare la famiglia delle primitive della funzione goniometrica

    f(x) = (tan((4)/(3)x))/(cos^2((4)/(3)x))

    e ciò equivale a risolvere l'integrale

    ∫(tan((4)/(3)x))/(cos^2((4)/(3)x))dx = (•)

    Come suggerito, integriamo per sostituzione ponendo

    t = cos((4)/(3)x)

    e calcolando il nuovo differenziale

    dt = -(4)/(3)sin((4)/(3)x)dx

    Prima di procedere con la sostituzione, dobbiamo esprimere la funzione tangente come rapporto tra seno e coseno, pertanto l'integrale di partenza si esprime come

    (•) = ∫((sin(frac43x))/(cos(frac43x)))/(cos^2((4)/(3)x))dx =

    Scriviamo la frazione di frazioni in forma normale

    = ∫(sin((4)/(3)x))/(cos^3((4)/(3)x))dx =

    e mettiamo all'opera il metodo di sostituzione

    = ∫(-(3)/(4)dt)/(t^3) = ∫(-(3)/(4t^3))dt =

    Esprimiamo l'integranda sotto forma di potenza con esponente negativo, in questo modo ci riconduciamo ad un integrale fondamentale:

    = ∫(-(3)/(4)t^(-3))dt =

    La costante moltiplicativa può essere trasportata fuori dal simbolo di integrazione; questo passaggio è assicurato da una proprietà degli integrali, detta omogeneità.

    = -(3)/(4)∫ t^(-3)dt =

    Siamo in dirittura d'arrivo: l'integrale ottenuto si risolve agevolmete a patto di sapere qual è l'integrale di una potenza:

    = -(3)/(4)·(t^(-3+1))/(-3+1)+c = (3)/(8)·t^(-2)+c = (3)/(8 t^2)+c =

    Non ci resta che ripristinare la variabile x, ricordando l'imposizione fatta ossia t = cos((4)/(3)x):

    = (3)/(8cos^2((4)/(3)x))+c

    L'esercizio è completato.

    Risposta di Ifrit
 
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