A conti fatti l'esercizio chiede di determinare la famiglia delle primitive della funzione goniometrica
e ciò equivale a risolvere l'integrale
Come suggerito, integriamo per sostituzione ponendo
e calcolando il nuovo differenziale
Prima di procedere con la sostituzione, dobbiamo esprimere la funzione tangente come rapporto tra seno e coseno, pertanto l'integrale di partenza si esprime come
Scriviamo la frazione di frazioni in forma normale
e mettiamo all'opera il metodo di sostituzione
Esprimiamo l'integranda sotto forma di potenza con esponente negativo, in questo modo ci riconduciamo ad un integrale fondamentale:
La costante moltiplicativa può essere trasportata fuori dal simbolo di integrazione; questo passaggio è assicurato da una proprietà degli integrali, detta omogeneità.
Siamo in dirittura d'arrivo: l'integrale ottenuto si risolve agevolmete a patto di sapere qual è l'integrale di una potenza:
Non ci resta che ripristinare la variabile
, ricordando l'imposizione fatta ossia
:
L'esercizio è completato.
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