Integrazione per sostituzione con funzioni goniometriche

Non riesco a calcolare un integrale con funzioni goniometriche, ho provato a calcolarlo per sostituzione ma senza successo:

 

\int\frac{\tan\left(\frac{4}{3}x\right)}{\cos^2\left(\frac{4}{3}x\right)}dx

 

Il libro propone come sostituzione t=\cos\left(\frac{4x}{3}\right).

In Superiori - Analisi - Domanda di IlCommodoro

Soluzioni

  • A conti fatti l'esercizio chiede di determinare la famiglia delle primitive della funzione goniometrica

    f(x)=\frac{\tan\left(\frac{4}{3}x\right)}{\cos^2\left(\frac{4}{3}x\right)}

    e ciò equivale a risolvere l'integrale

    \int\frac{\tan\left(\frac{4}{3}x\right)}{\cos^2\left(\frac{4}{3}x\right)}dx=(\bullet)

    Come suggerito, integriamo per sostituzione ponendo

    t=\cos\left(\frac{4}{3}x\right)

    e calcolando il nuovo differenziale

    dt=-\frac{4}{3}\sin\left(\frac{4}{3}x\right)dx

    Prima di procedere con la sostituzione, dobbiamo esprimere la funzione tangente come rapporto tra seno e coseno, pertanto l'integrale di partenza si esprime come

    (\bullet)=\int\frac{\frac{\sin(\frac{4}{3}x)}{\cos\left(\frac{4}{3}x\right)}}{\cos^2\left(\frac{4}{3}x\right)}dx=

    Scriviamo la frazione di frazioni in forma normale

    =\int\frac{\sin\left(\frac{4}{3}x\right)}{\cos^3\left(\frac{4}{3}x\right)}dx=

    e mettiamo all'opera il metodo di sostituzione

    =\int\frac{-\frac{3}{4}dt}{t^3}=\int\left(-\frac{3}{4t^3}\right)dt=

    Esprimiamo l'integranda sotto forma di potenza con esponente negativo, in questo modo ci riconduciamo ad un integrale fondamentale:

    =\int\left(-\frac{3}{4}t^{-3}\right)dt=

    La costante moltiplicativa può essere trasportata fuori dal simbolo di integrazione; questo passaggio è assicurato da una proprietà degli integrali, detta omogeneità.

    =-\frac{3}{4}\int t^{-3}dt=

    Siamo in dirittura d'arrivo: l'integrale ottenuto si risolve agevolmete a patto di sapere qual è l'integrale di una potenza:

    \\ =-\frac{3}{4}\cdot \frac{t^{-3+1}}{-3+1}+c= \\ \\ \\ = \frac{3}{8}\cdot t^{-2}+c= \\ \\ \\ = \frac{3}{8 t^2}+c=

    Non ci resta che ripristinare la variabile x, ricordando l'imposizione fatta ossia t=\cos\left(\frac{4}{3}x\right):

    =\frac{3}{8\cos^2\left(\frac{4}{3}x\right)}+c

    L'esercizio è completato.

    Risposta di Ifrit
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