Problema algebrico da risolvere con le equazioni di secondo grado

Question

Avrei bisogno del vostro aiuto per un problema algebrico da risolvere con le equazioni di secondo grado. In buona sostanza devo determinare la risolvente usando le informazioni fornite dalla traccia. Il doppio aumentato di 9 del prodotto di un numero naturale con un altro che lo supera di quattro è uguale a 3 volte il quadrato del primo. Determinare i due numeri. Come si fa? Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Quello proposto è un esempio di problema da risolvere con le equazioni. Più esplicitamente, dobbiamo leggere attentamente il testo, capire qual è l'incognita e determinare infine la risolvente traducendo in simboli matematici i dati forniti dalla traccia.

Indichiamo con il primo dei due numeri naturali ed esplicitiamo il secondo sapendo che supera il primo di 4: i due numeri sono quindi

Il doppio aumentato di nove del prodotto tra i due si traduce nell'espressione algebrica

Tale espressione dev'essere uguale a 3 volte il quadrato del primo numero, vale a dire

Abbiamo così determinato la risolvente del problema che a conti fatti è un'equazione di secondo grado a coefficienti interi. Per risolverla, dobbiamo svolgere i calcoli così che possa essere espressa in forma normale. Iniziamo dal prodotto al primo membro

trasportiamo tutto a sinistra

dopodiché sommiamo tra loro i monomi simili e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita

Ora che l'equazione è espressa in forma canonica, indichiamo con rispettivamente il coefficiente di , quello di e il termine noto

Poiché il coefficiente di - ossia - è un numero pari, possiamo risolvere l'equazione usando la formula ridotta:

x_(1,2) = (-(b)/(2)±√((Δ)/(4)))/(a)

dove è il simbolo che indica il delta quarti, ottenibile mediante la relazione

(Δ)/(4) = ((b)/(2))^2-ac = (-4)^2-1·(-9) = 16+9 = 25

Poiché il delta quarti è positivo, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte e sono:

x_(1,2) = (-(b)/(2)±√((Δ)/(4)))/(a) = -(-8)/(2)±√(25) = 4±5 = 4-5 = -1 = x_1 ; 4+5 = 9 = x_2

Attenzione però che stiamo lavorando con numeri naturali, quindi l'unica soluzione accettabile è

e rappresenta il primo tra i due numeri. Il secondo si ricava sostituendo 9 a nell'espressione

In conclusione, i due numeri che soddisfano le richieste del problema sono 9 e 13. Abbiamo finito.