Soluzioni
  • Quello proposto è un esempio di problema da risolvere con le equazioni. Più esplicitamente, dobbiamo leggere attentamente il testo, capire qual è l'incognita e determinare infine la risolvente traducendo in simboli matematici i dati forniti dalla traccia.

    Indichiamo con x il primo dei due numeri naturali ed esplicitiamo il secondo sapendo che supera il primo di 4: i due numeri sono quindi

    x \ \ \ ; \ \ \ x+4

    Il doppio aumentato di nove del prodotto tra i due si traduce nell'espressione algebrica

    2x (x+4)+9

    Tale espressione dev'essere uguale a 3 volte il quadrato del primo numero, vale a dire

    2x(x+4)+9=3x^2

    Abbiamo così determinato la risolvente del problema che a conti fatti è un'equazione di secondo grado a coefficienti interi. Per risolverla, dobbiamo svolgere i calcoli così che possa essere espressa in forma normale. Iniziamo dal prodotto al primo membro

    2x^2+8x+9=3x^2

    trasportiamo tutto a sinistra

    2x^2+8x+9-3x^2=0

    dopodiché sommiamo tra loro i monomi simili e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita

    -x^2+8x+9=0 \ \ \ \to \ \ \ x^2-8x-9=0

    Ora che l'equazione è espressa in forma canonica, indichiamo con a,\ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto

    a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=-8 \ \ \ ; \ \ \ c=-9

    Poiché il coefficiente di x - ossia b=-8 - è un numero pari, possiamo risolvere l'equazione usando la formula ridotta:

    x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}

    dove \frac{\Delta}{4} è il simbolo che indica il delta quarti, ottenibile mediante la relazione

    \frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=(-4)^2-1\cdot(-9)=16+9=25

    Poiché il delta quarti è positivo, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte e sono:

    x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=-\frac{-8}{2}\pm\sqrt{25}=4\pm 5=\begin{cases}4-5=-1=x_1 \\ 4+5=9=x_2\end{cases}

    Attenzione però che stiamo lavorando con numeri naturali, quindi l'unica soluzione accettabile è

    x=9

    e rappresenta il primo tra i due numeri. Il secondo si ricava sostituendo 9 a x nell'espressione

    x+4=9+4=13

    In conclusione, i due numeri che soddisfano le richieste del problema sono 9 e 13. Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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