Soluzioni
  • Il segmento che unisce il punto medio di una corda di una circonferenza con il punto medio dell'arco sotteso da essa si chiama saetta (o freccia) dell'arco di circonferenza, e coincide con l'altezza del segmento circolare delimitato dalla corda e dell'arco di circonferenza.

    Per fissare le idee disegniamo una circonferenza di centro O e raggio r, tracciamo una sua corda AB e consideriamo l'arco di lunghezza L sotteso da essa.

    Indichiamo con H il punto medio della corda AB e tracciamo il raggio OS che passa per H. Il punto S divide l'arco L in parti uguali, e il segmento HS che unisce il punto medio della corda con il punto medio dell'arco è la saetta dell'arco di circonferenza

     

    Saetta arco di circonferenza

    Saetta di un arco di circonferenza.

     

    Formule per il calcolo della saetta di un arco di circonferenza

    La seguente tabella riporta le formule con cui si può calcolare la lunghezza della saetta, ossia la lunghezza del segmento che unisce il punto medio di una corda con il punto medio dell'arco sotteso da essa.

    Abbiamo indicato con s=\overline{HS} la lunghezza della saetta, con r=\overline{OS} la misura del raggio, con c=\overline{AB} la misura della corda e con \theta=\widehat{AOB} l'ampiezza dell'angolo al centro che insiste sull'arco L.

     

    Lunghezza saetta con raggio e corda

    s=r-\sqrt{r^2-\frac{c^2}{4}}

    Lunghezza saetta con raggio e angolo al centro

    s=r\left(1-\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)

     

    Lunghezza della saetta con raggio e corda

    Prendiamo come riferimento la precedente immagine e osserviamo che la misura della saetta HS è uguale alla differenza tra \overline{OS} e \overline{OH}

    \overline{HS} = \overline{OS} - \overline{OH} = \\ \\ = r - \overline{OH} \ (\bullet)

    Il segmento OH è un cateto del triangolo rettangolo di vertici O, A, H, dunque per il teorema di Pitagora:

    \overline{OH}=\sqrt{\overline{OA}^2 - \overline{AH}^2}

    Vediamo poi che:

    \overline{OA} = r

    AH è la metà della corda AB, ossia

    \overline{AH}=\frac{\overline{AB}}{2}

    di conseguenza

    \\ \overline{OH}=\sqrt{\overline{OA}^2 - \overline{AH}^2} = \\ \\ = \sqrt{r^2 - \left(\frac{\overline{AB}}{2}\right)^2} = \sqrt{r^2-\frac{\overline{AB}^2}{4}}=

    Poniamo \overline{AB}=c

    =\sqrt{r^2-\frac{c^2}{4}}

    In definitiva:

    \overline{OH}=\sqrt{r^2-\frac{c^2}{4}}

    Sostituendo in (\bullet) otteniamo la formula per il calcolo della saetta con raggio e corda

    \overline{HS} = r - \sqrt{r^2-\frac{c^2}{4}}

    Lunghezza della saetta con raggio e angolo al centro

    Supponiamo ora di conoscere la misura del raggio (r) e l'ampiezza dell'angolo al centro (\theta=\widehat{AOB}) che insiste sull'arco di circonferenza. Partiamo ancora una volta dalla formula

    \overline{HS} = \overline{OS} - \overline{OH} = \\ \\ = r - \overline{OH} \ (\bullet)

    Per calcolare \overline{OH} usiamo il teorema di Pitagora

    \overline{OH}=\sqrt{\overline{OA}^2 - \overline{AH}^2}=\\ \\ =\sqrt{r^2 - \overline{AH}^2}

    Per determinare \overline{AH} applichiamo il primo teorema trigonometrico sui triangoli rettangoli

    \overline{AH} = \overline{OA}\cdot \sin\left(\frac{\widehat{AOB}}{2}\right) = \\ \\ = r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)

    Sostituiamo nella formula per \overline{OH}:

    \overline{OH}=\sqrt{r^2 - \left(r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^2}= \\ \\ \\ = \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}=

    Raccogliamo a fattor comune r^2

    = \sqrt{r^2 \left(1-\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)}=

    e portiamolo fuori dal segno di radice. Osserviamo che possiamo omettere il valore assoluto perché r è la misura del raggio, e quindi un numero certamente positivo

    = r\sqrt{1-\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}=

    Per l'identità fondamentale della Trigonometria

    =r\sqrt{\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}=r \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)

    Anche in questo caso omettiamo il valore assoluto perché \theta è un angolo compreso tra 0° e 180°, per cui \frac{\theta}{2} è compreso tra 0° e 90° e in questo intervallo di valori il coseno è non negativo.

    Abbiamo così ottenuto che

    \overline{OH}=r \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)

    Sostituendo in (\bullet) ricaviamo la formula che permette di calcolare la lunghezza della saetta con il raggio e l'angolo al centro

    \overline{HS} = r-\overline{OH} = \\ \\ = r - r \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = r\left(1-\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)

    ossia

    \overline{HS} = r\left(1-\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)

    Esempio sul calcolo della misura della saetta

    Calcolare la misura del segmento che unisce il centro di una corda con il centro dell'arco di circonferenza sotteso da essa, sapendo che il raggio della circonferenza misura 5 cm e che la lunghezza della corda è di 8 cm.

    Svolgimento: dai dati forniti dalla traccia conosciamo la misura del raggio

    r=5 \mbox{ cm}

    e la lunghezza della corda

    c=8 \mbox{ cm}

    dunque possiamo trovare la misura s della saetta usando la formula

    s=r-\sqrt{r^2-\frac{c^2}{4}}=

    sostituiamo r e c con le rispettive misure

    =5 \mbox{ cm}-\sqrt{(5 \mbox{ cm})^2-\frac{(8 \mbox{ cm})^2}{4}}=

    e svolgiamo i calcoli

    \\ =5 \mbox{ cm}-\sqrt{25 \mbox{ cm}^2-\frac{64 \mbox{ cm}^2}{4}}= \\ \\ = 5 \mbox{ cm} - \sqrt{25 \mbox{ cm}^2-16 \mbox{ cm}^2}= \\ \\ = 5 \mbox{ cm} - \sqrt{9 \mbox{ cm}^2} = \\ \\ = 5 \mbox{ cm} - 3 \mbox{ cm} = 2 \mbox{ cm}

    Abbiamo finito! La misura della saetta (o freccia) è di 2 cm.

    ***

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    Risposta di Galois
 
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