Soluzioni
  • Quello che vuoi determinare è sostanzialmente la saetta del segmento circolare, ossia la distanza tra il punto medio dell'arco e il punto medio della corda.

    I dati in tuo possesso però sono insufficienti per trovarla in modo esplicito, o comunque tramite una formula chiusa, possiamo però fare alcuni ragionamenti. Prendi in esame la seguente figura

     

    Saetta di un segmento circolare

     

    Utilizzando il primo teorema trigonometrico per triangoli rettangoli OHA si ha che

    AH= r\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\implies AB=2r\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)

    dove \theta è l'angolo al centro della circonferenza che sottende il segmento AB e ovviamente l'arco L. 

    Inoltre dalla definizione di radiante segue che

    \theta=\frac{L}{r}\implies L=r\theta

    A questo punto diventa obbligatorio impostare un sistema di due equazioni non lineari

    \begin{cases}2r\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=AB\\ r\theta=L\end{cases}

    così da calcolare r e θ, ma a parte qualche caso sporadico non è possibile determinare in modo esatto le incognite, ma solo soluzioni approssimate tramite qualche metodo numerico.

    Supponendo di conoscere il raggio r, il problema diventa banale, infatti la lunghezza della saetta è data dalla differenza tra il raggio e il segmento OH che rappresenta l'altezza del triangolo rettangolo di vertici AOH. Ora AH è la metà del segmento AB ossia

    AH=\frac{AB}{2}

    Il teorema di Pitagora permetterà di determinare il segmento OH:

    OH=\sqrt{AO^2- AH^2}=\sqrt{r^2-\frac{AB}{2} }

    e dunque la saetta SH è

    SH=r-\sqrt{r^2-\frac{AB^2}{4}}

    Se oltre al raggio siamo a conoscenza dell'angolo θ, grazie ai teoremi di trigonometria sui triangoli rettangoli, potremo scrivere

    SH=r\left(1-\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)

     

    Risposta di Ifrit
 
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