Centroide

Non riesco proprio a risolvere questo esercizio sul centroide, mi fareste un gran favore a spiegarmi come procedere?


Calcolare il centroide del trapezio di vertici (0,0) (1,1) (3,1) (4,0). Grazie mille!

Domanda di christian
Soluzioni

Ciao Christian, arrivo a risponderti, ma dovrai avere un po' di pazienza...Wink

Risposta di Omega

Se con centroide intendi il baricentro del trapezio, prova a dare un'occhiata a questa discussione: potrebbe tornarti molto utile Wink

https://www.youmath.it/forum/analisi-2n/5204-baricentro-di-un-dominio.html

Namasté!

Risposta di Omega

Si ma come considero il trapezio?

Risposta di christian

Il trapezio ha per definizione i lati a due a due paralleli, quindi puoi determinare le equazioni cartesiane dei lati calcolandole con la formula per l'equazione della retta passante per due punti

(y−y_2)/(y_1−y_2) = (x−x_2)/(x_1−x_2)

cin questa formula determini le quattro equazioni dei lati, dopodiché le porti in forma esplicita (y=...) e usi i lati del trapezio come frontiera del dominio per calcolare il baricentro.

Namasté!

Risposta di Omega

NON RIESCO A PORRE GLI ESTREMI DELL'INTEGRALE NONOSTANTE HO TROVATO LE EQUAZIONI DELLE RETTE

Y=X

Y=4-X

Y=-(X-1)/2

Y=-(X-4)/4

AIUTO!!

Risposta di christian

Adesso bisogna applicare le formule indicate al link, e quindi come giustamente avrai provato a fare, bisogna calcolare degli integrali doppi sul dominio.

il dominio può essere descritto considerando come variabile libera y, che varia tra [0,1], e considerando come variabile vincolata x. L'ascissa deve variare tra le ascisse individuate dai due lati obliqui:

y = x

y = 4−x

ossia

x = y

x = 4−y

quindi 

(le altre due equazioni non sono le equazioni delle rette su cui giacciono le basi, che essendo parallele all'asse delle ascisse hanno rispettivamente equazioni y = 0, y = 1)

Dato che ci sono diversi integrali da calcolare, scrivo gli estremi in forma esplicita nel caso in cui volessimo calcolare l'integrale di una generica funzione f(x) sul trapezio A:

∫_(0)^(1)∫_(y)^(4−y)f(x)dxdy

Namasté!

Risposta di Omega

ok adesso provo a finirlo! nel caso avessi problemi posso ancora chiederti?

Risposta di christian

A' voglia! Laughing 

Namasté!

Risposta di Omega

è possibile che l'area sia 3??

Risposta di christian

Non saprei, non ho fatto i conti. Portali a termine: quando avrai le coordinate del baricentro sarà semplicissimo dire a occhio se hai fatto bene i conti oppure no Wink

Namasté!

Risposta di Omega

ok

Risposta di christian

x=2

y=5/9

Risposta di christian

Mi trovo con l'ascissa, non con l'ordinata:

∫_(0)^(1)∫_(y)^(4−y)ydxdy =

= ∫_(0)^(1)y[x]_(y)^(4−y)dy =

= ∫_(0)^(1)y[4−2y]dy =

= ∫_(0)^(1)4y−2y^2]dy =

[4(y^2)/(2)−2(y^3)/(3)]_0^1 = 2−(2)/(3) = (4)/(3)

L'area del trapezio, senza fare neanche mezzo integrale, è

|A| = 3

quindi

y_B = (4)/(9)

Namasté!

Risposta di Omega

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