Centroide

Non riesco proprio a risolvere questo esercizio sul centroide, mi fareste un gran favore a spiegarmi come procedere?


Calcolare il centroide del trapezio di vertici (0,0) (1,1) (3,1) (4,0). Grazie mille!

In Uni - Analisi - Domanda di christian

Soluzioni

  • Ciao Christian, arrivo a risponderti, ma dovrai avere un po' di pazienza...Wink

    Risposta di Omega

  • Se con centroide intendi il baricentro del trapezio, prova a dare un'occhiata a questa discussione: potrebbe tornarti molto utile Wink

    https://www.youmath.it/forum/analisi-2n/5204-baricentro-di-un-dominio.html

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Si ma come considero il trapezio?
    Risposta di christian

  • Il trapezio ha per definizione i lati a due a due paralleli, quindi puoi determinare le equazioni cartesiane dei lati calcolandole con la formula per l'equazione della retta passante per due punti

    \frac{y-y_2}{y_1-y_2}=\frac{x-x_2}{x_1-x_2}

    cin questa formula determini le quattro equazioni dei lati, dopodiché le porti in forma esplicita (y=...) e usi i lati del trapezio come frontiera del dominio per calcolare il baricentro.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • NON RIESCO A PORRE GLI ESTREMI DELL'INTEGRALE NONOSTANTE HO TROVATO LE EQUAZIONI DELLE RETTE

    Y=X

    Y=4-X

    Y=-(X-1)/2

    Y=-(X-4)/4

    AIUTO!!

     

    Risposta di christian

  • Adesso bisogna applicare le formule indicate al link, e quindi come giustamente avrai provato a fare, bisogna calcolare degli integrali doppi sul dominio.

     

    il dominio può essere descritto considerando come variabile libera y, che varia tra [0,1], e considerando come variabile vincolata x. L'ascissa deve variare tra le ascisse individuate dai due lati obliqui:

    y=x

    y=4-x

    ossia

    x=y

    x=4-y

    quindi 

    (le altre due equazioni non sono le equazioni delle rette su cui giacciono le basi, che essendo parallele all'asse delle ascisse hanno rispettivamente equazioni y=0, y=1)

    Dato che ci sono diversi integrali da calcolare, scrivo gli estremi in forma esplicita nel caso in cui volessimo calcolare l'integrale di una generica funzione f(x) sul trapezio A:

    \int_{0}^{1}{\int_{y}^{4-y}{f(x)dxdy}}

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • ok adesso provo a finirlo! nel caso avessi problemi posso ancora chiederti?

    Risposta di christian

  • A' voglia! Laughing 

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • è possibile che l'area sia 3??

    Risposta di christian

  • Non saprei, non ho fatto i conti. Portali a termine: quando avrai le coordinate del baricentro sarà semplicissimo dire a occhio se hai fatto bene i conti oppure no Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • ok

     

    Risposta di christian

  • x=2

    y=5/9

     

    Risposta di christian

  • Mi trovo con l'ascissa, non con l'ordinata:

    \int_{0}^{1}\int_{y}^{4-y}{ydxdy}=

    =\int_{0}^{1}{y[x]_{y}^{4-y}dy}=

    =\int_{0}^{1}{y[4-2y]dy}=

    =\int_{0}^{1}{4y-2y^2]dy}=

    \left[4\frac{y^2}{2}-2\frac{y^3}{3}\right]_0^1=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}

    L'area del trapezio, senza fare neanche mezzo integrale, è

    |A|=3

    quindi

    y_B=\frac{4}{9}

    Namasté!

     

    Risposta di Omega
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