Soluzioni
  • Ciao DogoFiero arrivo, dammi solo qualche secondo :P

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo una parabola con asse di simmetria coincidente con l'asse Y quindi l'equazione della parabola è:

    y=ax^2+b x+c

    L'equazione dell'asse di simmetria è:

    x=-\frac{b}{2a}=0\implies b=0

    Inoltre sappiamo che ha il vericie in (0, 0) quindi il punto soddisfa l'equazione della parabola:

    0= c

    L'equazione della parabola è quindi ridotta a:

    y= a x^2

    perché sia b che c sono nulli.

    Ci manca da determinare a e per farlo imponiamo il passaggio della parabola nel punto (2, 5)

    (2, 5)\in \gamma:y=ax^2\iff 5= 4a\implies a= \frac{5}{4}

     

    L'equazione della parabola è quindi:

    y= \frac{5}{4} x^2

    Concentriamoci ora sulla retta:

    Costruiamo il fascio di rette passanti per il punto A(2, 5)

    esso è:

    y-5= m(x-2)

    L'esercizio ci dà il coefficiente angolare:

    m= \frac{1}{2}

     

    quindi l'equazione della retta è:

    y-5=\frac{1}{2}(x-2)

    da cui:

    y= \frac{1}{2}x-1+5= \frac{1}{2}x+4

    Adesso troviamo l'intersezione della retta con la parabola:

    \begin{cases}y= \frac{5}{4}x^2\\ y=\frac{1}{2}x+4\end{cases}

    Procediamo per sostituzione, otterremo l'equazione risolvente:

    \frac{5}{4}x^2= \frac{1}{2}x+4

    Moltiplichiamo membro a membro per 4 otterremo:

    5x^2=2x+16

    scriviamo l'equazione in forma canonica:

    5x^2-2x-16=0

    Troviamo il discriminante:

    \Delta=342\implies \sqrt{\Delta}=18

    Le soluzioni sono:

    x_1= \frac{2-18}{10}= -\frac{16}{10}= -\frac{8}{5}

    x_2= \frac{2+18}{10}= 2

    Abbiamo due punti di intersezione, uno è ovviamente A(2, 5) l'altro è:

    B(x_1, 1/2 x_1+4)= \left(-\frac{8}{5},\frac{16}{5} \right)

     

    Adesso abbiamo i punti. Per calcolare l'area abbiamo bisogno della base e dell'altezza. La base è data dalla distanza tra i punto A e B, l'altezza è data dalla distanza tra il punto (0, 0) e la retta y= \frac{1}{2}x+4

    b= \sqrt{\left(-\frac{8}{5}-2\right)^2+\left(\frac{16}{5}-5\right)^2}= \frac{9\sqrt{5}}{5}

    Calcoliamo l'altezza, prima di farlo scriviamo l'equazione della retta in forma implicita:

    -x+2y-8=0

    h= \frac{|-8|}{\sqrt{(-1)^2+4}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}

    Possiamo calcolare l'area:

    A= \frac{b\times h}{2}= \frac{9\sqrt{5}\cdot 8\sqrt{5}}{2\cdot 25}=\frac{36}{5}

    E' possibile che vi siano errori di conto :|

    Risposta di Ifrit
  • Perfetto i risultati tornano grazie mille!

    Risposta di DogoFiero
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