Soluzioni
  • Ciao Commodoro :) arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Ciao ilcommodoro arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • L'errore nello svolgimento riguarda il fatto che hai sì sostituito t=\sqrt{x+1} nella funzione integranda, ma non hai sostituito il termine differenziale dx. Se vuoi toglierti il dubbio per sempre, leggi la lezione sull'integrazione per sostituzione. ;)

    Dalla trasformazione

    t=\sqrt{x+1}

    si ricava

    x=t^2-1

    da cui, differenziando entrambi i membri

    dx=2tdt

    Quindi l'integrale

    \int{\frac{x}{\sqrt{x+1}}dx}

    diventa

    \int{\frac{t^2-1}{t}2tdt}=2\int{(t^2-1)dt}=2\frac{t^3}{3}-2t+c

    effettuando la sostituzione inversa

    =2\frac{\sqrt{(x+1)^3}}{3}-2\sqrt{x+1}+c

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Acc, ci siamo accavallati: io non ho visto la tua replica! Sealed

    Risposta di Omega
  • Abbiamo l'integrale:

    \int \frac{x}{\sqrt{x+1}}dx

    Procediamo per sostituzione:

    \sqrt{x+1}=t\implies x+1= t^2\implies x= t^2-1

    quando si effettua la sostituzione, dobbiamo trasformare anche il dx:

    dx=2 tdt  

     

    Sostituiamo:

    \int \frac{t^2-1}{t}\cdot 2t dt= \int 2(t^2-1)dt

    portiamo fuori il due:

    2\int t^2-1dt= 2 \left(\frac{t^3}{3}- t\right) +c

    poiché

    t= \sqrt{x+1} allora:

    2\int t^2-1dt= 2 \left(\frac{(\sqrt{x+1})^3}{3}-\sqrt{x+1}\right) +c

    mettendo in evidenza \sqrt{x+1}

    abbiamo:

    = 2\sqrt{x+1}\left(\frac{x+1}{3}-1\right)+c= \frac{2}{3}\sqrt{x+1}\left(x-2\right)+c

     

    Se ci sono domande sono qui :P

    Risposta di Ifrit
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