Calcolare un integrale per sostituzione

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Ho cercato di calcolare un integrale per sostituzione, ma non mi viene, ecco i passaggi che ho fatto:

 

Integrale di [ x / √(x+1) ] dx.

 

L'esercizio mi suggerisce di sostituire √(x+1)=t, quindi x=t^2-1, o sbaglio?

Sostituisco e viene

 

Integrale di [ (t^2-1) / t ] dx = ∫ t dx - ∫ (1/t) dx = xt - logt + c.

 

Cosa sbaglio?

Domanda di IlCommodoro

 
Soluzioni

  • Ciao Commodoro :) arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Ciao ilcommodoro arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • L'errore nello svolgimento riguarda il fatto che hai sì sostituito t = √(x+1) nella funzione integranda, ma non hai sostituito il termine differenziale dx. Se vuoi toglierti il dubbio per sempre, leggi la lezione sull'integrazione per sostituzione. ;)

    Dalla trasformazione

    t = √(x+1)

    si ricava

    x = t^2-1

    da cui, differenziando entrambi i membri

    dx = 2tdt

    Quindi l'integrale

    ∫(x)/(√(x+1))dx

    diventa

    ∫(t^2-1)/(t)2tdt = 2∫(t^2-1)dt = 2(t^3)/(3)-2t+c

    effettuando la sostituzione inversa

    = 2(√((x+1)^3))/(3)-2√(x+1)+c

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Acc, ci siamo accavallati: io non ho visto la tua replica! Sealed

    Risposta di Omega

  • Abbiamo l'integrale:

    ∫ (x)/(√(x+1))dx

    Procediamo per sostituzione:

    √(x+1) = t ⇒ x+1 = t^2 ⇒ x = t^2-1

    quando si effettua la sostituzione, dobbiamo trasformare anche il dx:

    dx = 2 tdt  

     

    Sostituiamo:

    ∫ (t^2-1)/(t)·2t dt = ∫ 2(t^2-1)dt

    portiamo fuori il due:

    2∫ t^2-1dt = 2 ((t^3)/(3)-t)+c

    poiché

    t = √(x+1) allora:

    2∫ t^2-1dt = 2 (((√(x+1))^3)/(3)-√(x+1))+c

    mettendo in evidenza √(x+1)

    abbiamo:

    = 2√(x+1)((x+1)/(3)-1)+c = (2)/(3)√(x+1)(x-2)+c

     

    Se ci sono domande sono qui :P

    Risposta di Ifrit
 
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