Dominio con logaritmo di una esponenziale

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Mi è capitato un esercizio sul calcolo del dominio del logaritmo di un'esponenziale e sinceramente non ricordo quali condizioni devo imporre affinché la funzione sia ben definita. Potete aiutarmi?

 

Calcolare il dominio della funzione

 

f(x) = ln(e^x-1)

Domanda di Fefi

 
Soluzioni

  • Il dominio della funzione

    f(x) = ln(e^x-1)

    è dettato da una sola condizione: l'argomento del logaritmo dev'essere maggiore di zero, dunque deve sussistere la relazione

    e^x-1 > 0

    Ci siamo ricondotti a una disequazione esponenziale che può essere risolta isolando l'esponenziale a sinistra e applicando in seguito il logaritmo ai due membri

    e^(x) > 1 → ln(e^x) > ln(1)

    In accordo con la relazione fondamentale che lega l'esponenziale con il logaritmo naturale

    ln(e^(x)) = x per ogni x∈R

    e ricordando che il logaritmo di 1 è 0, la disequazione ln(e^(x)) > ln(1) diventa

    x > 0 

    pertanto ricaviamo che il dominio della funzione è

    Dom(f) = x∈R : x > 0 = (0,+∞)

    L'esercizio è completo.

    Risposta di Ifrit
 
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