Dominio con logaritmo di una esponenziale

Mi è capitato un esercizio sul calcolo del dominio del logaritmo di un'esponenziale e sinceramente non ricordo quali condizioni devo imporre affinché la funzione sia ben definita. Potete aiutarmi?

Calcolare il dominio della funzione

f(x) = ln(e^x-1)

Domanda di Fefi
Soluzione

Il dominio della funzione

f(x) = ln(e^x-1)

è dettato da una sola condizione: l'argomento del logaritmo dev'essere maggiore di zero, dunque deve sussistere la relazione

e^x-1 > 0

Ci siamo ricondotti a una disequazione esponenziale che può essere risolta isolando l'esponenziale a sinistra e applicando in seguito il logaritmo ai due membri

e^(x) > 1 → ln(e^x) > ln(1)

In accordo con la relazione fondamentale che lega l'esponenziale con il logaritmo naturale

ln(e^(x)) = x per ogni x∈R

e ricordando che il logaritmo di 1 è 0, la disequazione ln(e^(x)) > ln(1) diventa

x > 0 

pertanto ricaviamo che il dominio della funzione è

Dom(f) = x∈R : x > 0 = (0,+∞)

L'esercizio è completo.

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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