Soluzioni
  • L'esercizio ci chiede di dimostrare la non esistenza del limite

    \lim_{x\to 0^{+}}\sin\left(\frac{1}{x}\right)

    rifacendoci alla teoria delle successioni. Il concetto di limite di una funzione e quello di limite di una successione sono intimamente legati dal celebre teorema ponte (o teorema di collegamento), il quale stabilisce che il limite per x che tende a \x_0 di una funzione è uguale a \ell se e solo se per ogni successione (a_n)_{n\in\mathbb{N}} con i termini diversi da x_0 e che tende a x_0 per n che tende a +\infty, si ha che f(a_n) tende a \ell.

    Dopo questo preambolo, occupiamoci del limite. Supponiamo per assurdo che il limite

    \lim_{x\to 0^{+}}\sin\left(\frac{1}{x}\right)

    esista e valga \ell\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}.

    Allora, per il teorema ponte, ogni successione (a_n)_{n\in\mathbb{N}} che converge a 0^{+} fa sì che il seguente limite sia pari a \ell

    \lim_{n\to+\infty}\sin\left(\frac{1}{a_n}\right)=\ell

    Consideriamo le successioni con termine generale:

    \\ a_n=\frac{1}{2n\pi} \ \ \ \mbox{per ogni} \ n\in\mathbb{N}-\{0\} \\ \\ \mbox{e} \\ \\ b_n=\frac{1}{\dfrac{\pi}{2}+2n\pi} \ \ \ \mbox{per ogni} \ n\in\mathbb{N}

    Entrambe le successioni rispettano le ipotesi del teorema ponte, però:

    \\ \lim_{n\to+\infty}f(a_n)=\lim_{n\to+\infty}\sin\left(\frac{1}{\dfrac{1}{2n\pi}}\right)= \\ \\ \\ =\lim_{n\to+\infty}\sin\left(2n\pi\right)=0

    perché la periodicità del seno assicura la veridicità delle uguaglianze

    \sin(2n\pi)=\sin(0)=0\ \ \ \mbox{per ogni} \ n\in\mathbb{N}

    mentre

    \\ \lim_{n\to +\infty}f(b_n)=\lim_{n\to +\infty}\sin\left(\frac{1}{\dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}}\right)= \\ \\ \\ =\lim_{n\to +\infty}\sin\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)=

    Sfruttando a dovere la periodicità del seno, il limite diventa

    =\lim_{n\to +\infty}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1

    Abbiamo raggiunto l'assurdo perché i due limiti non hanno il medesimo risultato. L'assurdità è scaturita dall'ipotesi che assicurava l'esistenza del limite

    \lim_{x\to 0^{+}}\sin\left(\frac{1}{x}\right)

    pertanto l'ipotesi deve essere necessariamente falsa, ergo: il limite non esiste.

    Risposta di Ifrit
 
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