Soluzioni
  • Il testo dell'esercizio è molto eloquente e fornisce la strategia risolutiva migliore per questo genere di problemi: bisogna usare il teorema del resto. In generale quando bisogna determinare il resto della divisione polinomiale tra un polinomio P(x) e un binomio del tipo (x-c), è sufficiente valutare P(x) per x=c, sostituendo a ogni occorrenza di x l'opposto del termine noto del binomio. In simboli matematici, il resto della divisione tra P(x)\ \mbox{e}\ (x-c) è R=P(c).

    È fondamentale sottolineare che il divisore dev'essere un polinomio monico di primo grado; in altri termini il coefficiente del termine di primo grado dev'essere 1. Se così non fosse, bisognerebbe effettuare alcuni passaggi algebrici per rendere monico il binomio divisore.

    Senza tirarla troppo per le lunghe, procediamo con la risoluzione dell'esercizio.

    Per poter calcolare il resto della divisione

    (a^3-4a^2+8a-1):(a-2)

    indichiamo il polinomio dividendo con P(a)

    P(a)=a^3-4a^2+8a-1

    e valutiamolo per x=2, ossia per l'opposto del termine noto del binomio divisore. Svolti i calcoli, il numero che otterremo sarà il resto richiesto:

    \\ R=P(2)=2^3-4\cdot 2^2+8\cdot 2-1= \\ \\ = 8-4\cdot 4+8\cdot 2-1=8-16+16-1=7

    Il resto della divisione è 7.

     

    Per calcolare il resto della divisione

    (x^4-4x^3+8x^2-7x+4):(x+4)

    indichiamo con P(x) il polinomio dividendo

    P(x)=x^4-4x^3+8x^2-7x+4

    e determiniamo il valore di P(-4) ottenuto rimpiazzando al posto di x l'opposto del binomio divisore.

    R=P(-4)=(-4)^4-4\cdot (-4)^3+8\cdot (-4)^2-7\cdot (-4)+4=

    Svolgiamo i calcoli, prestando la massima attenzione alle potenze dei numeri negativi e portiamo a termine l'esercizio

    \\ =4^4-4\cdot(-4^3)+8\cdot 4^2+28+4= \\ \\ = 256+256+8\cdot 16+28+4=672

    In definitiva, il resto della divisione è R=672.

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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