Soluzioni
  • L'integrale indefinito

    \int\frac{1}{h^2+c^2}dh=(\bullet)

    è a tutti gli effetti un cosiddetto integrale con delta negativo, a patto che c\ne 0, osserviamo infatti che il denominatore è somma di quadrati, o più precisamente è somma tra un quadrato e una costante positiva.

    Per risolvere questo integrale dovremo rimaneggiare la funzione integranda, infatti essa ricorda molto la derivata dell'arcotangente.

    \frac{d}{dh}[\arctan(h)]=\frac{1}{1+h^2}

    Come possiamo dare all'integranda una forma simile? Il trucco consiste nel mettere in evidenza c^2 al denominatore

    (\bullet)=\int\frac{1}{c^2\left(1+\frac{h^2}{c^2}\right)}dh

    Per la linearità dell'integrale possiamo trasportare fuori la costante moltiplicativa c^2

    =\frac{1}{c^2}\int\frac{1}{1+\frac{h^2}{c^2}}dh=

    e in forza delle proprietà delle potenze, possiamo scrivere quanto segue:

    =\frac{1}{c^2}\int\frac{1}{\left(1+\frac{h}{c}\right)^2}dh=

    Se al numeratore dell'integranda avessimo la derivata di \frac{h}{c} rispetto alla variabile h, ossia \frac{1}{c}, allora saremmo di fronte ad un integrale notevole che risulterebbe essere un'arcotangente a meno di costanti additive.

    Niente paura, possiamo sempre farci furbi e usare un barbatrucco algebrico

    \\ =\frac{1}{c\cdot c}\int\frac{1}{1+\left(\frac{h}{c}\right)^2}dh= \\ \\ \\ = \frac{1}{c}\int\frac{\frac{1}{c}}{1+\left(\frac{h}{c}\right)^2}dh=

    Finalmente possiamo concludere che l'integrale di partenza vale

    =\frac{1}{c}\arctan\left(\frac{h}{c}\right)+K

    dove K è una costante reale additiva.

    Non abbiamo ancora concluso l'analisi. Può succedere infatti che c=0, in tal caso l'integrale di partenza diventa

    \int\frac{1}{h^2}dh=

    e può essere risolto con la regola di integrazione di una potenza, a patto di esprimere l'integranda sotto forma di potenza con esponente negativo:

    \\ =\int h^{-2}dh= \\ \\ \\ =\frac{1}{-2+1}h^{-2+1}+K= -\frac{1}{h}+K

    In definitiva possiamo asserire che

    \int\frac{1}{h^2+c^2}dh=\begin{cases}\frac{1}{c}\arctan\left(\frac{h}{c}\right)+K&\mbox{ se }c\ne 0\\ -\frac{1}{h}+K&\mbox{ se }c=0\end{cases}

    Ora possiamo considerare concluso l'esercizio.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi