Soluzioni
  • Come indicato dal testo dell'esercizio, non dobbiamo necessariamente eseguire la divisione tra polinomi, tutt'altro! È sufficiente avvalersi del teorema del resto: il resto della divisione tra un polinomio P(x) per un binomio x-c è dato dal valore della valutazione di P(x) per x=c, dove c è il termine noto del divisore, cambiato di segno.

    Per ricavare il resto della divisione

    (x^4+5x^3+6x^2+4x+2):(x+1)

    indichiamo il polinomio dividendo con P(x)

    P(x)=x^4+5x^3+6x^2+4x+2

    consideriamo l'opposto del termine noto di (x+1), vale a dire c=-1 e infine valutiamo P(-1), ossia il valore che si ottiene sostituendo a x, il valore -1:

    R=P(-1)=(-1)^4+5\cdot (-1)^3+6\cdot (-1)^2+4\cdot(-1)+2=

    Portiamo a termine i conti, stando attenti alle potenze dei numeri negativi

    =1-5+6-4+2=0

    Il resto della divisione è 0.

    Osservazione: poiché il resto della divisione è 0, possiamo affermare che il binomio (x+1) è un divisore di P(x).

     

    Calcoliamo il resto della divisione

    (8x^3-7x^2+5x-3):(x+2)

    avvalendoci del teorema del resto. Per agevolare la spiegazione, indichiamo con P(x) il polinomio dividendo

    P(x)=8x^3-7x^2+5x-3

    e con c il termine noto del divisore cambiato di segno: c=-2.

    In accordo con il teorema del resto, il resto della divisione si ricava valutando il polinomio dividendo per x=-2. In termini più espliciti, basta sostituire -2\ \mbox{a} \ x e svolgere i conti che ne derivano:

    R=P(-2)=8\cdot(-2)^3-7\cdot (-2)^2+5\cdot(-2)-3=

    Sviluppiamo le potenze dei numeri negativi e infine sommiamo

    =8\cdot (-8)-7\cdot 4-10-3=-64-28-10-3=-105

    In definitiva, il resto della divisione è R=-105.

    Ecco fatto.

    Risposta di Ifrit
 
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