Calcolare il resto di una divisione tra polinomi

Come indicato dal testo dell'esercizio, non dobbiamo necessariamente eseguire la divisione tra polinomi, tutt'altro! È sufficiente avvalersi del teorema del resto: il resto della divisione tra un polinomio per un binomio è dato dal valore della valutazione di per , dove è il termine noto del divisore, cambiato di segno.

Per ricavare il resto della divisione

indichiamo il polinomio dividendo con

consideriamo l'opposto del termine noto di , vale a dire e infine valutiamo , ossia il valore che si ottiene sostituendo a , il valore :

Portiamo a termine i conti, stando attenti alle potenze dei numeri negativi

Il resto della divisione è 0.

Osservazione: poiché il resto della divisione è 0, possiamo affermare che il binomio è un divisore di .

Calcoliamo il resto della divisione

avvalendoci del teorema del resto. Per agevolare la spiegazione, indichiamo con il polinomio dividendo

e con il termine noto del divisore cambiato di segno: .

In accordo con il teorema del resto, il resto della divisione si ricava valutando il polinomio dividendo per . In termini più espliciti, basta sostituire e svolgere i conti che ne derivano:

Sviluppiamo le potenze dei numeri negativi e infine sommiamo

In definitiva, il resto della divisione è .

Ecco fatto.