Soluzioni
  • L'esercizio chiede di determinare il dominio della funzione logaritmo

    f(x)=\ln(x)

    dettato dalla condizione x>0: ricordiamo infatti che il logaritmo pretende che il suo argomento sia positivo affinché sia ben definito.

    Il dominio è pertanto

    Dom(f) \ : \ x>0

    che, scritto con la notazione per gli intervalli, diventa

    Dom(f)=(0,+\infty)

    Una volta determinato l'insieme di esistenza, continuiamo l'analisi cercando di capire se f(x) è una funzione iniettiva.

    In accordo con la definizione di funzione iniettiva, fissiamo x_1, \ x_2\in Dom(f) e verifichiamo che l'uguaglianza

    f(x_1)=f(x_2) \ \to \ln(x_1)=\ln(x_2)

    sussiste se e solo se x_1=x_2, se ciò non succede possiamo concludere che f(x) non è iniettiva. In questo caso è sufficiente applicare ai due membri la funzione esponenziale e utilizzare la definizione di logaritmo che garantisce la veridicità dell'implicazione:

    e^{\ln(x_1)}=e^{\ln(x_2)} \ \to \ x_1=x_2

    In definitiva, possiamo concludere che f(x) è una funzione iniettiva.

    Per quanto concerne la suriettività, il testo non fornisce esplicitamente il codominio della funzione, sottintendendo che esso sia Cod(f)=\mathbb{R}.

    Operativamente, proprio perché conosciamo il grafico di f(x), possiamo avvalerci del metodo grafico per controllarne la suriettività: è sufficiente tracciare il grafico del logaritmo sul piano cartesiano e verificare che ogni retta parallela all'asse delle ordinate lo interseca almeno una volta.

    Osserviamo che proiettando il grafico sull'asse delle ordinate si evince che l'immagine della funzione coincide con \mathbb{R}, pertanto Im(f)=Cod(f).

    Traiamo le dovute conclusioni: f(x)=\ln(x) è sia iniettiva che suriettiva e pertanto è una funzione biunivoca.

    Risposta di Ifrit
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiVarie
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAVita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi