Problema con le equazioni sul ricavato di una vendita

Il nostro compito consiste nell'interpretare correttamente il testo dell'esercizio così da determinare le equazioni che comporranno il sistema lineare risolvente. In maniera più esplicita, dobbiamo innanzitutto attribuire le lettere alle incognite del problema.

Indichiamo con i pesi dei tre sacchi espressi in chilogrammi:

dopodiché traduciamo le informazioni che il testo fornisce in equazioni.

Sappiamo che i tre sacchi pesano complessivamente , cioè

Il testo, inoltre, ci avverte che il peso del terzo sacco supera di il doppio del peso del secondo e che il primo sacco pesa in meno del secondo. Le due affermazioni si traducono rispettivamente nelle relazioni

Proprio perché le tre relazioni devono valere contemporaneamente, le inseriamo a sistema e per non appesantire troppo le notazioni tralasceremo le unità di misura

Il sistema lineare può essere risolto avvalendoci di diverse tecniche, però in questa occasione conviene applicare il metodo di sostituzione. Le motivazioni che ci spingono a prediligere tale metodo risiedono essenzialmente nella forma in cui le equazioni si presentano: dalla seconda e dalla terza equazione le incognite sono espresse in termini di .

Rimpiazzando nella prima equazione del sistema le espressioni di , essa diventerà un'equazione di primo grado nell'incognita

Per risolverla è sufficiente isolare i termini con l'incognita al primo membro e trasportare i termini noti al secondo

Una volta ottenuto il valore dell'incognita , possiamo ricavare gli altri con una semplice sostituzione

da cui

In definitiva, il peso del primo sacco è

quello del secondo è invece

e infine quello del terzo sacco risulta

Avendo a disposizione il prezzo di vendita al chilogrammo, possiamo calcolare i guadagni sui rispettivi sacchi moltiplicando il prezzo per il peso.

Il guadagno sul primo sacco è dato da:

Il guadagno sul secondo sacco si ottiene con la relazione:

e infine, il guadagno sul terzo sacco è

Per ottenere il guadagno complessivo è sufficiente sommare tra loro i singoli guadagni, ossia:

In definitiva, il ricavato delle vendite di tutte le patate è .