Come calcolare la molteplicità geometrica degli autovalori?

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Vorrei capire come calcolare la molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori di una matrice. Per calcolare la molteplicità geometrica di una matrice, posso usare la formula rango-molteplicità algebrica?

 

La matrice di partenza è:

 

[2 0 0 ;-3 -1 3 ; 0 0 2]

 

Dopo aver aggiunto -t alla matrice, ho un determinante di questo tipo: (2-t)(-1-t)(2-t). Quindi per t = 2 ho molteplicità algebrica pari a 2 perchè annullo 2 parentesi, e molteplicità algebrica di t = -1 pari a 1 perchè annullo una parentesi.

 

Anche la molteplicità geometrica di t = -1 dovrebbe essere uguale a 1, ma la molteplicità geometrica di t = 2 va calcolata. Posso fare rango-molteplicità algebrica? Oppure la calcolo in un altro modo?

 

Grazie!

Domanda di namis

 
Soluzioni

  • Ciao Namis, la molteplicità algebrica di un autovalore è il numero che esprime quante volte l'autovalore annulla il polinomio caratteristico.

    Esplicitamente: se chiamiamo il polinomio caratteristico P(λ), ad esempio

    Pλ = (2-t)(-1-t)(2-t)

    vediamo che t = 2 annulla due volte il polinomio caratteristico, quindi ha molteplicità algebrica 2, mentre t = -1 ha molteplicità algebrica 1.

    Se invece avessimo

    P(λ) = (3-t)(1-t)(2-t)

    allora i tre autovalori avrebbero molteplicità algebrica 1.

    PS: la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori non può mai superare la dimensione della matrice!

    Per la molteplicità geometrica di un autovalore, invece, devi calcolare la dimensione del corrispondente autospazio, ossia la dimensione dello spazio degli autovettori relativi all'autovalore.

    Per calcolare la molteplicità geometrica puoi ricorrere alla formula

    mg(λ) = dim(V)-Rank(A-λ I)

    dove dim(V) = n è la dimensione della matrice quadrata A, mentre "Rank" indica il rango della matrice.

    In ogni caso qui su YM c'è una lezione che tratta l'argomento nel dettaglio e ti invito a leggerla, prima o dopo: molteplicità algebrica e molteplicità geometrica.

     

    Ora veniamo alla matrice dell'esempio che hai proposto.

    [2 0 0 ;-3 -1 3 ; 0 0 2]

    Calcoliamo il polinomio caratteristico come determinante della matrice A-λ I

    P(λ) = det[2-λ 0 0 ;-3 -1-λ 3 ; 0 0 2-λ]

    Per calcolare il determinante di una matrice 3x3 possiamo ricorrere alla regola di Sarrus, ottenendo

    P(λ) = (2-λ)(-1-λ)(2-λ)

    Gli autovalori sono gli zeri del polinomio caratteristico, che qui possiamo determinare comodamente mediante la legge di annullamento del prodotto

    P(λ) = 0 → λ_(1,2) = 2 ; λ_3 = -1

    Quindi λ = 2 ha molteplicità algebrica 2 mentre λ = -1 ha molteplicità algebrica 1.

    Le corrispondenti matrici sono: per λ = -1

    A+1I = [1 0 0 ;-3 0 3 ; 0 0 1]

    che ha rango 2, quindi

    mg(-1) = dim(R^3)-Ran(A+I) = 3-2 = 1

    Nel caso di λ = 2

    A-2I = [0 0 0 ;-3 -3 3 ; 0 0 0]

    che ha rango 1, quindi

    mg(2) = dim(R^3)-Ran(A-2I) = 3-1 = 2

    Nota che la suddetta formula per la molteplicità geometrica di un autovalore è una conseguenza diretta del teorema delle dimensioni. Basta applicarlo all'applicazione lineare definita dalla matrice considerata. ;)

    Namasté - Agente Ω

    Risposta di Omega
 
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