Soluzioni
  • Il testo ci dà come note le proprietà del modulo e dell'argomento relative al prodotto di due numeri complessi. Dati z_1, \ z_2\in\mathbb{C}, il modulo del loro prodotto coincide con il prodotto dei loro moduli, in simboli matematici:

    |z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2| \ \ \ \mbox{per ogni} \ z_1, \ z_2\in\mathbb{C}

    Per quanto concerne l'argomento sussiste invece la seguente relazione

    Arg(z_1\cdot z_2)=Arg(z_1)+Arg(z_2) \ \ \ \mbox{per ogni} \ z_1, \ z_2\in\mathbb{C}-\{0\}

    dove l'uguaglianza è da intendersi a meno di multipli di 2\pi. Nota: abbiamo escluso 0 perché per tale numero complesso non è definito alcun argomento.

    Il nostro obiettivo è dimostrare che, presi due numeri complessi z_1\ \mbox{e} \ z_2 il secondo dei quali non nullo sussistono le uguaglianze

    \\ \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|} \ \ \ \mbox{per ogni} \ z_1\in\mathbb{C}, \ z_2\in\mathbb{C}-\{0\} \\ \\ \\ Arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=Arg(z_1)-Arg(z_2) \ \ \ \mbox{per ogni} \ z_1, \ z_2 \in\mathbb{C}-\{0\}

    dove, ancora una volta, l'uguaglianza relativa all'argomento va intesa a meno di multipli di 2\pi.

    Per quanto riguarda la proprietà sul modulo di un rapporto, è sufficiente osservare che il quoziente di due numeri si può esprimere mediante il prodotto tra il dividendo per il reciproco del divisore: utilizzando questo semplice trucco algebrico, siamo autorizzati a usare la regola sul modulo del prodotto!

    \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\left|z_1\cdot\frac{1}{z_2}\right|=|z_1|\cdot\left|\frac{1}{z_2}\right|=(\bullet)

    Calcoliamo il modulo di \frac{1}{z_2}, esprimendo z_2 nella sua forma algebrica

    z_2=x_2+iy_2 \ \ \ \mbox{con} x_2, \ y_2\in\mathbb{R}

    ed esplicitiamo la parte reale e la parte immaginaria di \frac{1}{z_2}

    \frac{1}{z_2}=\frac{1}{x_2+iy_2}=

    Attenzione! Dobbiamo realizzare il denominatore moltiplicando e dividendo per il coniugato di z_2, ossia per x_2-i y_2

    =\frac{1\cdot (x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=\frac{x_2-iy_2}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}

    In accordo con la definizione di modulo possiamo scrivere

    \left|\frac{1}{z_2}\right|=\sqrt{\left(\frac{x_2}{x_2^2+y_2^2}\right)^2+\left(\frac{-y_2}{x_{2}^2+y_{2}^2}\right)^2}=\\ \\ \\ =\sqrt{\frac{x_2^{2}+y_2^{2}}{(x_2^2+y_2^2)^2}}=\frac{1}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}}=\frac{1}{|z_2|}

    dimostrando così che il modulo del reciproco di un numero complesso coincide con il reciproco del modulo del numero stesso.

    Era il tassello necessario mediante il quale possiamo esprimere (\bullet) come segue

    (\bullet)=|z_1|\cdot\frac{1}{|z_2|}=\frac{|z_1|}{|z_2|}

    In definitiva

    \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|} \ \ \ \mbox{per ogni} \ z_2\ne 0

    Per quanto riguarda la proprietà relativa all'argomento, procediamo con lo stesso barbatrucco algebrico

    Arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=Arg\left(z_1\cdot\frac{1}{z_2}\right)=

    Utilizziamo la proprietà sull'argomento di un prodotto che garantisce la veridicità dell'uguaglianza

    =Arg(z_1)+Arg\left(\frac{1}{z_2}\right)=(\bullet\bullet)

    Calcoliamo a parte l'argomento del reciproco di z_2 dopo averlo espresso in forma algebrica

    Arg\left(\frac{1}{z_2}\right)=Arg\left(\frac{x_2-iy_2}{x_2^2+y_2^2}\right)=

    Poiché x_2^2+y_2^2 è un numero reale positivo allora l'argomento di \frac{x^2-iy_2}{x_2^2+y_2^2} coincide con quello di x_2-iy_2, ossia è uguale al coniugato di z_2

    =Arg(x_2-iy_2)=Arg(\overline{z}_2)=-Arg(z_2)

    La catena di uguaglianze permette di concludere che l'argomento del reciproco di un numero complesso coincide con l'opposto dell'argomento di quest'ultimo e dunque (\bullet\bullet) si può esprimere come segue

    (\bullet\bullet)=Arg(z_1)-Arg(z_2)

    Abbiamo dunque dimostrato che

    Arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=Arg(z_1)-Arg(z_2)

    CVD

     

    Metodo alternativo

    Esiste un modo più elegante per dirimere la questione: è sufficiente lavorare con la forma esponenziale dei numeri complessi e sfruttare le proprietà delle potenze intere complesse.

    Siano z_1\ \mbox{e} \ z_2 due numeri complessi espressi in forma esponenziale

    z_1=|z_1| e^{i Arg(z_1)}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ z_2=|z_2|e^{i Arg(z_2)}

    In base alla definizione di rapporto di numeri complessi otteniamo

    \frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|e^{iArg(z_1)}}{|z_2|e^{iArg(z_2)}}=\frac{|z_1|}{|z_2|}e^{i(Arg(z_1)-Arg(z_2))}

    Il rapporto tra i numeri complessi è espresso in forma esponenziale, cioè nella forma \rho e^{i\theta} ed effettuando un confronto di tipo posizionale possiamo concludere:

    - il modulo di un rapporto coincide con il rapporto dei moduli;

    - l'argomento di un rapporto di due numeri complessi non nulli coincide (a meno di multipli di 2\pi) con la differenza tra l'argomento del numeratore e quello del denominatore.

    In simboli matematici

    \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|} \ \ \ \forall z_1\in\mathbb{C}\wedge z_2\in\mathbb{C}-\{0\}\\ \\ \\  Arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=Arg(z_1)-Arg(z_2) \ \ \ (\mod 2\pi) \ \ \ \forall z_1,\ z_2\in\mathbb{C}-\{0\}

    che è quello che volevamo dimostrare.

    Risposta di Ifrit
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