Modulo e argomento del rapporto di numeri complessi

In un esercizio sul rapporto di numeri complessi, piuttosto teorico, mi viene chiesto di ricavare le formule per il modulo e argomento del rapporto partendo dalle relazioni sul modulo e sull'argomento che valgono per il prodotto. Come posso fare? Grazie!

Domanda di Lely91

Soluzioni

Il testo ci dà come note le proprietà del modulo e dell'argomento relative al prodotto di due numeri complessi. Dati $z_1, \ z_2\in\mathbb{C}$ , il modulo del loro prodotto coincide con il prodotto dei loro moduli, in simboli matematici:
$|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2| \ \ \ \mbox{per ogni} \ z_1, \ z_2\in\mathbb{C}$
Per quanto concerne l'argomento sussiste invece la seguente relazione
$Arg(z_1\cdot z_2)=Arg(z_1)+Arg(z_2) \ \ \ \mbox{per ogni} \ z_1, \ z_2\in\mathbb{C}-\{0\}$
dove l'uguaglianza è da intendersi a meno di multipli di $2\pi$ . Nota: abbiamo escluso 0 perché per tale numero complesso non è definito alcun argomento.
Il nostro obiettivo è dimostrare che, presi due numeri complessi $z_1\ \mbox{e} \ z_2$ il secondo dei quali non nullo sussistono le uguaglianze
$\\ \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|} \ \ \ \mbox{per ogni} \ z_1\in\mathbb{C}, \ z_2\in\mathbb{C}-\{0\} \\ \\ \\ Arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=Arg(z_1)-Arg(z_2) \ \ \ \mbox{per ogni} \ z_1, \ z_2 \in\mathbb{C}-\{0\}$
dove, ancora una volta, l'uguaglianza relativa all'argomento va intesa a meno di multipli di $2\pi$ .
Per quanto riguarda la proprietà sul modulo di un rapporto, è sufficiente osservare che il quoziente di due numeri si può esprimere mediante il prodotto tra il dividendo per il reciproco del divisore: utilizzando questo semplice trucco algebrico, siamo autorizzati a usare la regola sul modulo del prodotto!
$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\left|z_1\cdot\frac{1}{z_2}\right|=|z_1|\cdot\left|\frac{1}{z_2}\right|=(\bullet)$
Calcoliamo il modulo di $\frac{1}{z_2}$ , esprimendo nella sua forma algebrica
$z_2=x_2+iy_2 \ \ \ \mbox{con} x_2, \ y_2\in\mathbb{R}$
ed esplicitiamo la parte reale e la parte immaginaria di $\frac{1}{z_2}$
$\frac{1}{z_2}=\frac{1}{x_2+iy_2}=$
Attenzione! Dobbiamo realizzare il denominatore moltiplicando e dividendo per il coniugato di , ossia per
$=\frac{1\cdot (x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=\frac{x_2-iy_2}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}$
In accordo con la definizione di modulo possiamo scrivere
$\left|\frac{1}{z_2}\right|=\sqrt{\left(\frac{x_2}{x_2^2+y_2^2}\right)^2+\left(\frac{-y_2}{x_{2}^2+y_{2}^2}\right)^2}=\\ \\ \\ =\sqrt{\frac{x_2^{2}+y_2^{2}}{(x_2^2+y_2^2)^2}}=\frac{1}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}}=\frac{1}{|z_2|}$
dimostrando così che il modulo del reciproco di un numero complesso coincide con il reciproco del modulo del numero stesso.
Era il tassello necessario mediante il quale possiamo esprimere $(\bullet)$ come segue
$(\bullet)=|z_1|\cdot\frac{1}{|z_2|}=\frac{|z_1|}{|z_2|}$
In definitiva
$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|} \ \ \ \mbox{per ogni} \ z_2\ne 0$
Per quanto riguarda la proprietà relativa all'argomento, procediamo con lo stesso barbatrucco algebrico
$Arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=Arg\left(z_1\cdot\frac{1}{z_2}\right)=$
Utilizziamo la proprietà sull'argomento di un prodotto che garantisce la veridicità dell'uguaglianza
$=Arg(z_1)+Arg\left(\frac{1}{z_2}\right)=(\bullet\bullet)$
Calcoliamo a parte l'argomento del reciproco di dopo averlo espresso in forma algebrica
$Arg\left(\frac{1}{z_2}\right)=Arg\left(\frac{x_2-iy_2}{x_2^2+y_2^2}\right)=$
Poiché è un numero reale positivo allora l'argomento di $\frac{x^2-iy_2}{x_2^2+y_2^2}$ coincide con quello di , ossia è uguale al coniugato di
$=Arg(x_2-iy_2)=Arg(\overline{z}_2)=-Arg(z_2)$
La catena di uguaglianze permette di concludere che l'argomento del reciproco di un numero complesso coincide con l'opposto dell'argomento di quest'ultimo e dunque $(\bullet\bullet)$ si può esprimere come segue
$(\bullet\bullet)=Arg(z_1)-Arg(z_2)$
Abbiamo dunque dimostrato che
$Arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=Arg(z_1)-Arg(z_2)$
CVD

Metodo alternativo
Esiste un modo più elegante per dirimere la questione: è sufficiente lavorare con la forma esponenziale dei numeri complessi e sfruttare le proprietà delle potenze intere complesse.
Siano $z_1\ \mbox{e} \ z_2$ due numeri complessi espressi in forma esponenziale
$z_1=|z_1| e^{i Arg(z_1)}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ z_2=|z_2|e^{i Arg(z_2)}$
In base alla definizione di rapporto di numeri complessi otteniamo
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|e^{iArg(z_1)}}{|z_2|e^{iArg(z_2)}}=\frac{|z_1|}{|z_2|}e^{i(Arg(z_1)-Arg(z_2))}$
Il rapporto tra i numeri complessi è espresso in forma esponenziale, cioè nella forma $\rho e^{i\theta}$ ed effettuando un confronto di tipo posizionale possiamo concludere:
- il modulo di un rapporto coincide con il rapporto dei moduli;
- l'argomento di un rapporto di due numeri complessi non nulli coincide (a meno di multipli di $2\pi$ ) con la differenza tra l'argomento del numeratore e quello del denominatore.
In simboli matematici
$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|} \ \ \ \forall z_1\in\mathbb{C}\wedge z_2\in\mathbb{C}-\{0\}\\ \\ \\ Arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=Arg(z_1)-Arg(z_2) \ \ \ (\mod 2\pi) \ \ \ \forall z_1,\ z_2\in\mathbb{C}-\{0\}$
che è quello che volevamo dimostrare.
Risposta di Ifrit