Modulo e argomento del rapporto di numeri complessi

Il testo ci dà come note le proprietà del modulo e dell'argomento relative al prodotto di due numeri complessi. Dati , il modulo del loro prodotto coincide con il prodotto dei loro moduli, in simboli matematici:

Per quanto concerne l'argomento sussiste invece la seguente relazione

dove l'uguaglianza è da intendersi a meno di multipli di . Nota: abbiamo escluso 0 perché per tale numero complesso non è definito alcun argomento.

Il nostro obiettivo è dimostrare che, presi due numeri complessi il secondo dei quali non nullo sussistono le uguaglianze

dove, ancora una volta, l'uguaglianza relativa all'argomento va intesa a meno di multipli di .

Per quanto riguarda la proprietà sul modulo di un rapporto, è sufficiente osservare che il quoziente di due numeri si può esprimere mediante il prodotto tra il dividendo per il reciproco del divisore: utilizzando questo semplice trucco algebrico, siamo autorizzati a usare la regola sul modulo del prodotto!

Calcoliamo il modulo di , esprimendo nella sua forma algebrica

ed esplicitiamo la parte reale e la parte immaginaria di

Attenzione! Dobbiamo realizzare il denominatore moltiplicando e dividendo per il coniugato di , ossia per

In accordo con la definizione di modulo possiamo scrivere

dimostrando così che il modulo del reciproco di un numero complesso coincide con il reciproco del modulo del numero stesso.

Era il tassello necessario mediante il quale possiamo esprimere come segue

In definitiva

Per quanto riguarda la proprietà relativa all'argomento, procediamo con lo stesso barbatrucco algebrico

Utilizziamo la proprietà sull'argomento di un prodotto che garantisce la veridicità dell'uguaglianza

Calcoliamo a parte l'argomento del reciproco di dopo averlo espresso in forma algebrica

Poiché è un numero reale positivo allora l'argomento di coincide con quello di , ossia è uguale al coniugato di

La catena di uguaglianze permette di concludere che l'argomento del reciproco di un numero complesso coincide con l'opposto dell'argomento di quest'ultimo e dunque si può esprimere come segue

Abbiamo dunque dimostrato che

CVD

Metodo alternativo

Esiste un modo più elegante per dirimere la questione: è sufficiente lavorare con la forma esponenziale dei numeri complessi e sfruttare le proprietà delle potenze intere complesse.

Siano due numeri complessi espressi in forma esponenziale

In base alla definizione di rapporto di numeri complessi otteniamo

Il rapporto tra i numeri complessi è espresso in forma esponenziale, cioè nella forma ed effettuando un confronto di tipo posizionale possiamo concludere:

- il modulo di un rapporto coincide con il rapporto dei moduli;

- l'argomento di un rapporto di due numeri complessi non nulli coincide (a meno di multipli di ) con la differenza tra l'argomento del numeratore e quello del denominatore.

In simboli matematici

che è quello che volevamo dimostrare.