Soluzioni
  • In tal caso, spezzando l'integrale nella somma di due integrali, di cui uno calcolato su [-5,0] e l'altro calcolato su [0,3\pi^2], possiamo specificare il segno del termine in modulo eliminando il modulo stesso:

    \int_{-5}^{0}{\cos{\left(\sqrt{\frac{x-x}{2}+\pi^2}\right)}dx}=\int_{-5}^{0}{\cos{(\pi)}dx}=\int_{-5}^{0}{(-1)dx}=-5

    e

    \int_{0}^{3\pi^2}{\cos{\left(\sqrt{\frac{x+x}{2}}+\pi^2\right)}dx}=

    =\int_{0}^{3\pi^2}{\cos{\left(\sqrt{x+\pi^2}\right)}dx}=

    Calcoliamo l'integrale definito per sostituzione e sostituiamo

    y=x+\pi^2

    da cui calcoliamo subito il differenziale della trasformazione inversa: dx=dy. Dobbiamo anche ricordarci di sostituire gli estremi di integrazione

    =\int_{\pi^2}^{4\pi^2}{\cos{\left(\sqrt{y}\right)}dx}=

    sostituendo a sua volta z=\sqrt{y} si ricava

    dy=2zdz

    e quindi

    =\int_{\pi}^{2\pi}{2z\cos{\left(z\right)}dx}=

    tale integrale può essere calcolato con l'integrazione per parti, prendendo come derivata \cos{(z)}, la cui primitiva è \sin{(z)}. Otteniamo

    =2\int_{\pi}^{2\pi}{z\cos{\left(z\right)}dx}=2z\sin{(z)}|_{\pi}^{2\pi}-2\int_{\pi}^{2\pi}{\sin{(z)}}=

    ed infine

    =0+2\cos{(z)}|_{\pi}^{2\pi}=+2\cos{(2\pi)}+2\cos{(\pi)}=+2+2=+4

    ---

    In definitiva, ricomponendo il tutto, si vede che l'integrale di partenza vale -1.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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