Soluzioni
  • Per risolvere il primo problema secondo le regole insiemistiche dobbiamo far ricorso al prodotto cartesiano tra due insiemi. Detto A l'insieme delle 11 squadre distinte che indicheremo con le prime 11 lettere minuscole dell'alfabeto, ovvero:

    A=\{a, \ b, \ c, \ d, \ e, \ f, \ g, \ h, \ i, \ l ,\ m\}

    per trovare quante partite (tra andata e ritorno) verranno disputate nell'intero campionato dobbiamo trovare gli elementi del prodotto cartesiano A \times A facendo però attenzione ad escludere le coppie aventi i due elementi uguali in quanto, ovviamente, una squadra non può giocare contro se stessa.

    Procedendo con la rappresentazione tabulare avremo

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \cline{1-12} {\color{Red}A\times A} & a&b&c&d&e&f&g&h&i&l &m\\ \cline{1-12} a & & (a,b) & (a,c) & (a,d) & (a,e) & (a,f) & (a,g) & (a,h) & (a,i) & (a,l) &(a,m)\\ \cline{1-12} b & (b,a) &  & (b,c) & (b,d) & (b,e) & (b,f) & (b,g) & (b,h) & (b,i) & (b,l) &(b, m)\\ \cline{1-12} c & (c,a) & (c,b) & & (c,d) & (c,e) & (c,f) & (c,g) & (c,h) & (c,i) & (c,l)&(c,m)\\ \cline{1-12} d & (d,a) & (d,b) & (d,c) & & (d,e) & (d,f) & (d,g) & (d,h) & (d,i) & (d,l)&(d, m) \\ \cline{1-12} e & (e,a) & (e,b) & (e,c) & (e,d) & & (e,f) & (e,g) & (e,h) & (e,i) & (e,l) &(e, m)\\ \cline{1-12} f & (f,a) & (f,b) & (f,c) & (f,d) & (f,e) & & (f,g) & (f,h) & (f,i) & (f,l)&(f, m) \\ \cline{1-12} ..... & ..... & .... & .... & .... & .... & .... & & .... & .... & .... & ... \\ \cline{1-12} \end{array}

    che lascio continuare a te.. ;)

    Non ci rimane altro da fare se non contare le coppie ordinate della tabella che sono 110.

    Se ci facciamo furbi possiamo evitare la rappresentazione tabulare in quanto, in fin dei conti, a noi interessa solo il numero degli accoppiamenti e non quali sono. Per trovare il numero basta ricordare che la cardinalità del prodotto cartesiano tra due insiemi è dato dal prodotto delle cardinalità dei due. Nel nostro caso, avendo l'insieme A 11 elementi, abbiamo che:

    \mbox{card(A)}=11 \times 11 = 121

    Da questo numero dobbiamo però togliere le coppie ordinate aventi i due elementi uguali che sono esattamente 11: (a,a) - (b,b) - (c,c) - .... (l,l)- (m,m); quindi avremo che il numero delle partite che si disputeranno sarà 

    121-11=110

    Come vedi siamo giunti allo stesso risultato con molto meno sforzo :)

    Secondo problema

    Veniamo ora al secondo problema.

    La prima cosa da fare è trovare il numero esatto degli alunni che praticano nuoto, calcio, nulla. Per farlo ricorreremo al calcolo delle percentuali:

    \mbox{nuoto} \ = \ 30\% \ \mbox{di} \ 300 \ = \ \frac{30}{100} \times 300 = 90

    \mbox{calcio} \ = \ 60\% \ \mbox{di} \ 300 \ = \ \frac{60}{100} \times 300 = 180

    \mbox{nulla} \ = \ 20\% \ \mbox{di} \ 300 \ = \ \frac{20}{100} \times 300 = 60

    Ora, indicati con

    A l'insieme degli alunni che praticano nuoto (sono 90),

    B l'insieme di quelli che praticano calcio (che ha cardinalità pari a 180),

    U l'insieme universo (formato da 300 elementi),

    abbiamo che in totale, il numero degli alunni che pratica sport è 300-60=240, ovvero l'unione tra A e B ha 240 elementi; in simboli: \mbox{card(A \cup B)} = 240

    Infine sapendo che A ne contiene 90, B ne contiene 180 e la loro unione 240, possiamo trovare il numero di elementi della loro intersezione come

    \mbox{card(A \cap B)} = (90 + 180)-240=270-240=30 \ \mbox{alunni}

    Ovvero gli alunni che praticano entrambi gli sport sono 30.

    In questi casi può aiutare una rappresentazione con i diagrammi di Eulero Venn:

     

    Diagramma di Eulero-Venn per un problema di insiemistica con le percentuali

     

     

    Ti passo un link dove trovi un sacco di esercizi sugli insiemi - click!

    Risposta di Galois
 
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