punti critici di una funzione

arrivato ad avere 

df/dx =y(1+x)e^(x-y)

df/dy =x(1-y)e^(x-y)

d^2/dx^2=y(2+x)e^(x-y)

d^2/dy^2=x(y-2)e^(x-y)

df/dxdy=(1+x)(1-y)e^(x-y)

come faccio a trovate i massimi minimi o selle?

Domanda di christian
Soluzioni

Ciao Christian, un attimo di pazienza e sono da te

Risposta di Omega

non preoccuparti volevo comunque dirti grazie per la disponibilità incredibile che offrite..sono esterefatto

Risposta di christian

Il gradiente della funzione è

(∂ f)/(∂ x) = y(1+x)e^(x−y)

(∂ f)/(∂ y) = x(1−y)e^(x−y)

e i punti stazionari della funzione f(x,y) sono, per definizione, i punti che annullano ∇ f(x,y) = [(∂ f)/(∂ x),(∂ f)/(∂ y)].

Dobbiamo quindi risolvere un sistema di due equazioni in due incognite:

y(1+x)e^(x−y) = 0

x(1−y)e^(x−y) = 0

Aiuta molto osservare che la funzione esponenziale è sempre positiva, quindi possiamo cancellare a cuor leggero e^(x+y) dalle precedenti equazioni

y(1+x) = 0

x(1−y) = 0

La prima equazione ci dice che i punti critici sono tali che

y = 0 ∨ x = −1

sostituendo tali valori, separatamente, nella seconda equazione, otteniamo rispettivamente

x = 0 ∨ y = 1

quindi ci sono due punti stazionari

(0,0),(−1,+1)

Dato che hai già calcolato la matrice Hessiana H_f(x,y), tutto quello che devi fare è

1) valutarla nei due punti stazionari: ottieni due matrici Hessiane H_f(0,0),H_f(−1,+1);

2) calcolarne il determinante;

3) desumere la natura del punto stazionario in base al segno del determinante e al segno del primo elemento della matrice Hessiana:

- determinante positivo, primo elemento positivo: minimo locale

- determinante positivo, primo elemento negativo: massimo locale

- determinante negativo: punto di sella

- determinante nullo: il metodo della matrice Hessiana non ci dice nulla sulla natura del punto critico.

Namasté!

Risposta di Omega

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