punti critici di una funzione

arrivato ad avere 

df/dx =y(1+x)e^(x-y)

df/dy =x(1-y)e^(x-y)

 

d^2/dx^2=y(2+x)e^(x-y)

d^2/dy^2=x(y-2)e^(x-y)

 

df/dxdy=(1+x)(1-y)e^(x-y)

 

come faccio a trovate i massimi minimi o selle?

In Uni - Analisi - Domanda di christian

 
Soluzioni

  • Ciao Christian, un attimo di pazienza e sono da te

    Risposta di Omega

  • non preoccuparti volevo comunque dirti grazie per la disponibilità incredibile che offrite..sono esterefatto

     

    Risposta di christian

  • Il gradiente della funzione è

    \frac{\partial f}{\partial x} =y(1+x)e^{x-y}

    \frac{\partial f}{\partial y} =x(1-y)e^{x-y}

    e i punti stazionari della funzione f(x,y) sono, per definizione, i punti che annullano \nabla f(x,y)=\left[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right].

    Dobbiamo quindi risolvere un sistema di due equazioni in due incognite:

    y(1+x)e^{x-y}=0

    x(1-y)e^{x-y}=0

    Aiuta molto osservare che la funzione esponenziale è sempre positiva, quindi possiamo cancellare a cuor leggero e^{x+y} dalle precedenti equazioni

    y(1+x)=0

    x(1-y)=0

    La prima equazione ci dice che i punti critici sono tali che

    y=0\vee x=-1

    sostituendo tali valori, separatamente, nella seconda equazione, otteniamo rispettivamente

    x=0\vee y=1

    quindi ci sono due punti stazionari

    (0,0),(-1,+1)

    Dato che hai già calcolato la matrice Hessiana H_f(x,y), tutto quello che devi fare è

    1) valutarla nei due punti stazionari: ottieni due matrici Hessiane H_f(0,0),H_f(-1,+1);

    2) calcolarne il determinante;

    3) desumere la natura del punto stazionario in base al segno del determinante e al segno del primo elemento della matrice Hessiana:

    - determinante positivo, primo elemento positivo: minimo locale

    - determinante positivo, primo elemento negativo: massimo locale

    - determinante negativo: punto di sella

    - determinante nullo: il metodo della matrice Hessiana non ci dice nulla sulla natura del punto critico.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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