Dimostrare che è un trapezio isoscele

Ciao ragazzi, ho ancora bisogno di un aiuto per una dimostrazione con un trapezio isoscele.

Disegna un triangolo ABC, traccia l'altezza CH e indica con m,n,p i punti medi rispettivamente dei lati AB, BC e CA. Dimostra che HNMP è un trapezio isoscele.

Grazie!

Domanda di anna vicaretti
Soluzioni

Ciao Anna, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega

Per provare che HMNP è un trapezio isoscele (click per tutte le proprietà del trapezio isoscele e del trapezio) dobbiamo mostrare che i lati NP // HM sono paralleli e che HP = HN sono congruenti.

Il primo punto è un noto teorema della geometria euclidea: la retta che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo è parallela al terzo lato.

Dopo essersi ricordati di tale teorema, è sufficiente applicare il teorema di Talete: un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali individua su di esse segmenti proporzionali.

In questo modo è facile vedere che il segmento NM è proporzionale al lato AC, e in particolare risulta che AC = 2MN.

Ora: consideriamo i due triangoli ABC e PCN. Si vede facilmente che essi sono simili per il primo criterio di similitudine dei triangoli, in quanto hanno i tre angoli corrispettivi congruenti (ci sono due coppie di angoli congruenti poiché corrispondenti e una coppia di angoli sovrapposti). Essendo simili, i loro lati corrispettivi sono in rapporto costante, e in particolare risulta che

AC = 2CP

quindi tale è il rapporto che sussiste tra le altezze di tali triangoli

CH = 2CK

avendo indicato con K il punto in cui l'altezza CH incontra il segmento NP.

Questo ci permette di concludere che i due triangoli PKH,PKC sono congruenti per il primo criterio di congruenza tra triangoli (hanno due lati congruenti e l'angolo tra essi compreso: AKC = PKH).

Se ne ricava che PC = PH, ma AD = 2PC e quindi

2PH = AC = 2MN

da cui

PH = 2MN

Abbiamo finito!

Namasté!

Risposta di Omega

Domande della categoria Scuole Superiori - Geometria
Esercizi simili e domande correlate