Dimostrare che è un trapezio isoscele
Ciao ragazzi, ho ancora bisogno di un aiuto per una dimostrazione con un trapezio isoscele.
Disegna un triangolo ABC, traccia l'altezza CH e indica con m,n,p i punti medi rispettivamente dei lati AB, BC e CA. Dimostra che HNMP è un trapezio isoscele.
Grazie!
Ciao Anna, arrivo a risponderti...
Risposta di Omega
Per provare che è un trapezio isoscele (click per tutte le proprietà del trapezio isoscele e del trapezio) dobbiamo mostrare che i lati
sono paralleli e che
sono congruenti.
Il primo punto è un noto teorema della geometria euclidea: la retta che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo è parallela al terzo lato.
Dopo essersi ricordati di tale teorema, è sufficiente applicare il teorema di Talete: un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali individua su di esse segmenti proporzionali.
In questo modo è facile vedere che il segmento è proporzionale al lato
, e in particolare risulta che
.
Ora: consideriamo i due triangoli e
. Si vede facilmente che essi sono simili per il primo criterio di similitudine dei triangoli, in quanto hanno i tre angoli corrispettivi congruenti (ci sono due coppie di angoli congruenti poiché corrispondenti e una coppia di angoli sovrapposti). Essendo simili, i loro lati corrispettivi sono in rapporto costante, e in particolare risulta che
quindi tale è il rapporto che sussiste tra le altezze di tali triangoli
avendo indicato con il punto in cui l'altezza
incontra il segmento
.
Questo ci permette di concludere che i due triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza tra triangoli (hanno due lati congruenti e l'angolo tra essi compreso:
).
Se ne ricava che , ma
e quindi
da cui
Abbiamo finito!
Namasté!
Risposta di Omega