Dimostrare che è un trapezio isoscele

Per provare che è un trapezio isoscele (click per tutte le proprietà del trapezio isoscele e del trapezio) dobbiamo mostrare che i lati sono paralleli e che sono congruenti.

Il primo punto è un noto teorema della geometria euclidea: la retta che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo è parallela al terzo lato.

Dopo essersi ricordati di tale teorema, è sufficiente applicare il teorema di Talete: un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali individua su di esse segmenti proporzionali.

In questo modo è facile vedere che il segmento è proporzionale al lato , e in particolare risulta che .

Ora: consideriamo i due triangoli e . Si vede facilmente che essi sono simili per il primo criterio di similitudine dei triangoli, in quanto hanno i tre angoli corrispettivi congruenti (ci sono due coppie di angoli congruenti poiché corrispondenti e una coppia di angoli sovrapposti). Essendo simili, i loro lati corrispettivi sono in rapporto costante, e in particolare risulta che

quindi tale è il rapporto che sussiste tra le altezze di tali triangoli

avendo indicato con il punto in cui l'altezza incontra il segmento .

Questo ci permette di concludere che i due triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza tra triangoli (hanno due lati congruenti e l'angolo tra essi compreso: ).

Se ne ricava che , ma e quindi

da cui

Abbiamo finito!

Namasté!