Soluzioni
  • Ciao Anna, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per provare che HMNP è un trapezio isoscele (click per tutte le proprietà del trapezio isoscele e del trapezio) dobbiamo mostrare che i lati NP // HM sono paralleli e che HP=HN sono congruenti.

    Il primo punto è un noto teorema della geometria euclidea: la retta che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo è parallela al terzo lato.

    Dopo essersi ricordati di tale teorema, è sufficiente applicare il teorema di Talete: un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali individua su di esse segmenti proporzionali.

    In questo modo è facile vedere che il segmento NM è proporzionale al lato AC, e in particolare risulta che AC=2MN.

    Ora: consideriamo i due triangoli ABC e PCN. Si vede facilmente che essi sono simili per il primo criterio di similitudine dei triangoli, in quanto hanno i tre angoli corrispettivi congruenti (ci sono due coppie di angoli congruenti poiché corrispondenti e una coppia di angoli sovrapposti). Essendo simili, i loro lati corrispettivi sono in rapporto costante, e in particolare risulta che

    AC=2CP

    quindi tale è il rapporto che sussiste tra le altezze di tali triangoli

    CH=2CK

    avendo indicato con K il punto in cui l'altezza CH incontra il segmento NP.

    Questo ci permette di concludere che i due triangoli PKH,PKC sono congruenti per il primo criterio di congruenza tra triangoli (hanno due lati congruenti e l'angolo tra essi compreso: AKC=PKH).

    Se ne ricava che PC=PH, ma AD=2PC e quindi

    2PH=AC=2MN

    da cui

    PH=2MN

    Abbiamo finito!

    Namasté!

    Risposta di Omega
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