Soluzioni
  • Essendo la funzione

    f(x)=\sqrt[3]{(x-1)^2(x-2)^2}

    calcoliamone la derivata in un generico punto x: servirà a farci avere un'idea dei punti in cui studiare la derivabilità della funzione f(x)

    Applicando il teorema di derivazione della funzione composta ed effettuando un paio di semplificazioni algebriche, si trova

    f'(x)=\frac{2}{3}\frac{2x-3}{\sqrt[3]{(x-1)(x-2)}}

    il che ci suggerisce di indagare sulla derivabilità della funzione f(x) nei punti x=1,x=2, in quanto tali punti sono inclusi nel dominio di f ma sono esclusi dal dominio di f'.

    Per valutare se la funzione f(x) è derivabile ad esempio nel punto x=1, dobbiamo ricorrere alla definizione, e controllare se i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale nel punto esistono finiti e coincidono, cioè se

    \lim_{x\to x_0^{-}}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\to x_0^{+}}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}

    Calcoliamoli separatamente nel caso di x_0=1, ma prima osserviamo che f(1)=0:

    \\ \lim_{x\to x_0^{-}}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\to 1^{-}}{\frac{\sqrt[3]{(x-1)^2(x-2)^2}-0}{x-1}}=\\ \\ \\=\lim_{x\to 1^{-}}{\sqrt[3]{\frac{(x-2)^{2}}{(x-1)}}}=-\infty

    D'altro canto

    \\ \lim_{x\to x_0^{+}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to 1^{+}}\frac{\sqrt[3]{(x-1)^2 (x-2)^2}-0}{x-1}=\\ \\ \\=\lim_{x\to 1^{+}}\sqrt[3]{\frac{(x-2)^2}{x-1}}=+\infty

    La funzione f(x) non è derivabile nel punto x=1, essendo il limite sinistro e il limite destro del rapporto incrementale centrato in x=1 entrambi infiniti, in particolare x=1 è un punto di cuspide (vedi la lezione sui punti di non derivabilità).

    Nel caso del punto x=2 si ragiona in maniera del tutto analoga, e si vede che anch'esso non è un punto di derivabilità per la funzione. Osserviamo che f(2)=0 e che

    \\ \lim_{x\to x_0^{-}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to 2^{-}}\frac{\sqrt[3]{(x-1)^2 (x-2)^2}}{x-2}=\\ \\ \\=\lim_{x\to 2^{-}}\sqrt[3]{\frac{(x-1)^2}{x-2}}=-\infty

    Similmente per l'altro limite

    \\ \lim_{x\to x_0^{+}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{\sqrt[3]{(x-1)^2 (x-2)^2}}{x-2}=\\ \\ \\=\lim_{x\to 2^{+}}\sqrt[3]{\frac{(x-1)^2}{x-2}}=+\infty

    Anche x=2 è un punto di non derivabilità ed in particolare è un punto di cuspide.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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