Soluzioni
  • Il nostro compito consiste nel risolvere l'equazione differenziale

    y''+4y=x-\cos(2x)

    dobbiamo cioè ricavare la famiglia di funzioni y(x) che realizzano l'uguaglianza. Proprio perché l'equazione è lineare, del secondo ordine e a coefficienti costanti, possiamo avvalerci della strategia risolutiva standard.

    Essa prevede di:

    - determinare la famiglia delle soluzioni y_0(x) dell'equazione differenziale omogenea del secondo ordine

    y''+4y=0

    - determinare una soluzione particolare y_p(x) associata all'equazione data.

    La famiglia di soluzioni, o integrale dell'equazione differenziale, si ricava sommando la soluzione particolare alla famiglia delle soluzioni dell'omogenea, vale a dire:

    y(x)=y_0(x)+y_p(x)

    Dedichiamoci all'equazione omogenea

    y''+4y=0

    cui associamo l'equazione caratteristica

    \lambda^2+4=0

    Essa è un'equazione di secondo grado che ammette due soluzioni complesse e coniugate

    \lambda^2=-4 \ \ \ \to \ \ \ \lambda_1=-2i \ \ \ , \ \ \ \lambda_2=2i

    dove i è l'unità immaginaria.

    In accordo con la teoria delle equazioni differenziali del secondo ordine omogenee, possiamo affermare che la famiglia delle soluzioni associata all'equazione omogenea è

    y_0(x)=c_1\cos(2x)+c_2\sin(2x) \ \ \ \mbox{con} \ c_1 \ \mbox{e} \ c_2\in\mathbb{R}

    (è una combinazione lineare di seni e coseni).

    Dedichiamoci al calcolo della soluzione particolare: grazie alle proprietà di cui godono le equazioni differenziali lineari possiamo pensare di spezzare l'equazione differenziale

    y''+4y=x-\cos(2x)

    nelle seguenti

    (I) \ \ \ y''+4y=x \\ \\ (II)\ \ \  y''+4y=-\cos(2x)

    Procedendo in questo modo, infatti, possiamo avvalerci del metodo di somiglianza, applicabile nel momento in cui il termine noto dell'equazione differenziale si presenta in una forma ben precisa.

    Nel caso in esame il termine noto dell'equazione di partenza

    f(x)=x-\cos(2x)

    non ha la forma richiesta dal metodo di somiglianza, mentre i termini noti delle equazioni differenziali (I)\ \mbox{e} \ (II) sì. Il nostro obiettivo diventa quindi quello di ricavare le soluzioni particolari di (I)\ \mbox{e} \ (II) e di sommarle tra loro: le proprietà di linearità garantiscono che tale somma sarà la soluzione particolare dell'equazione in esame.

    Cominciamo con l'equazione (I)

    y''+4y=x

    In tal caso, il metodo di somiglianza suggerisce di ricercare la soluzione particolare nella forma

    y_{p_1}(x)=Ax+B

    dove A\ \mbox{e} \ B sono costanti reali. Per ricavare tali costanti, calcoliamo la derivata prima e la derivata seconda

    y_{p_1}'(x)=A \ \ \ \mbox{e} \ \ \ y_{p_1}''(x)=0

    dopodiché rimpiazziamo nell'equazione differenziale

    y''+4y=x \ \ \ \to \ \ \ 0+ 4(Ax+B)=x

    da cui

    4Ax+4B=x

    Interviene il cosiddetto principio di identità dei polinomi che consente di impostare il sistema lineare

    \begin{cases}4A=1 \\ \\ 4B=0\end{cases}

    soddisfatto dalla coppia di valori

    (A,B)=\left(\frac{1}{4},0\right)

    Di conseguenza la (o meglio una) soluzione particolare associata è

    y_{p_1}(x)=Ax+B=\frac{x}{4}

    Occupiamoci dell'equazione (II)

    y''+4y=-\cos(2x)

    In tal caso il termine noto è del tipo

    f(x)=Q(x)\cos(\beta x)

    dove Q(x)=-1 è la funzione polinomiale costante di grado 0, mentre il coefficiente di x nell'argomento del coseno è \beta=2.

    Osserviamo che \beta i=2i è soluzione dell'equazione caratteristica e, in virtù del metodo di somiglianza, la soluzione particolare dell'equazione differenziale (II) è del tipo

    y_{p_2}(x)=x[Q_1(x)\cos(\beta x)+R(x)\sin(\beta x)]

    dove Q_1(x) \ \mbox{e} \ R(x) sono polinomi che hanno il medesimo grado di Q(x)=-1, ciò vuol dire che sono entrambi costanti che indichiamo con c_3, \ c_4

    y_{p_2}(x)=x(c_3\cos(2x)+c_4\sin(2x)) \ \ \ \mbox{con} \ c_3, \ c_4\in\mathbb{R}

    Per ricavare i valori da attribuire alle costanti reali, calcoliamo la derivata prima di y_{p_2}(x)

    y_{p_2}'(x)=(c_3+2c_4x)\cos(2x)+(c_4-2c_3x)\sin(2x)

    e la derivata seconda

    y_{p_2}''(x)=4(c_4-c_3x)\cos(2x)-4(c_3+c_4 x)\sin(2x)

    dopodiché sostituiamo le espressioni ottenute nell'equazione differenziale

    y''+4 y=-\cos(2x)

    che diventa

    \\ \overbrace{4c_4\cos(2x)-4c_3x\cos(2x)-4c_3\sin(2x)-4c_4 x\sin(2x)}^{y_{p_2}''(x)}+ \\ \\ \\ +\overbrace{4 c_3x\cos(2x)+4c_4x\sin(2x)}^{y_{p_2}''(x)}=-\cos(2x)

    Sommando i termini simili al primo membro ricaviamo la relazione

    4c_4\cos(2x)-4c_3\sin(2x)=-\cos(2x)

    vera nel momento in cui il coefficiente di \cos(2x) al primo membro coincide con quello di \cos(2x) del secondo, così come il coefficiente di \sin(2x) deve coincidere con 0 perché al secondo membro non appare alcun seno - o meglio il coefficiente di \sin(2x) al secondo membro è nullo. Costruiamo quindi il sistema lineare

    \begin{cases}4c_4=-1\\ \\ -4c_3=0\end{cases}

    da cui

    c_3= 0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ c_4=-\frac{1}{4}

    pertanto la soluzione particolare associata all'equazione

    y''+4y=-\cos(2x)

    è

    y_{p_2}(x)=x\left[-\frac{1}{4}\sin(2x)\right]= -\frac{1}{4}x\sin(2x)

    Note le soluzioni particolari delle equazioni differenziali (I)\ \mbox{e} \ (II), quella associata all'equazione di partenza è

    y_{p}(x)=y_{p_1}(x)+y_{p_2}(x)=\frac{x}{4}-\frac{x\sin(2x)}{4}

    pertanto l'integrale generale associato all'equazione differenziale

    y''+4y=x-\cos(2x)

    è

    \\ y(x)=y_0(x)+y_{p}(x)= \\ \\ =\frac{x}{4}-\frac{x\sin(2x)}{4}+c_1\cos(2x)+c_2\sin(2x)

    dove c_1\ \mbox{e} \ c_2 variano nell'insieme dei numeri reali.

    Risposta di Ifrit
 
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