Equazione irrazionale parametrica

Buongiorno, devo risolvere questa equazione irrazionale con un parametro a.

(Rad(a) + Rad(x)) : (Rad(a) - Rad(x)) = (a+2) : (a-2).

Mi potreste spiegare come fare? Grazie in anticipo!

Domanda di Franci
Soluzioni

Ciao Franci, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega

L'equazione da risolvere è un'equazione irrazionale fratta

(√(a)+√(x))/(√(a)-√(x)) = (a+2)/(a-2)

prima di tutto occupiamoci del parametro a: l'equazione ha senso solamente prendendo valori del parametro a tali che a ≥ 0, questo affinché esista la radice √(a).

Inoltre dobbiamo richiedere che sia a ≠+2.

Poi occupiamoci delle condizioni di esistenza delle soluzioni dell'equazione: affinché l'equazione abbia senso dobbiamo richiedere che

x ≥ 0

e che

√(a)-√(x) ≠ 0 → √(x) ≠ √(a) → x ≠ a

Passiamo a risolvere l'equazione, e razionalizziamo a primo membro moltiplicando e dividendo la frazione per √(a)+√(x):

((√(a)+√(x))^2)/(a-x) = (a+2)/(a-2)

cioè

(a+2√(ax)+x)/(a-x) = (a+2)/(a-2)

Portiamo tutto a sinistra dell'uguale e calcoliamo il denominatore comune:

(a+2√(ax)+x)/(a-x)-(a+2)/(a-2) = 0

((a+2√(ax)+x)(a-2)-(a+2)(a-x))/((a-x)(a-2)) = 0

dato che x ≠ a possiamo cancellare il denominatore

(a+2√(ax)+x)(a-2)-(a+2)(a-x) = 0

facciamo i conti

a^2-2a+2a√(ax)-4√(ax)+ax-2x-(a^2-ax+2a-2x) = 0

a^2-2a+2a√(ax)-4√(ax)+ax-2x-a^2+ax-2a+2x = 0

-4a+2a√(ax)-4√(ax)+2ax = 0

ora poniamo

y = √(x)

per cui l'equazione diventa

-4a+2a√(a)y-4√(a)y+2ay^2 = 0

2ay^2+(2a√(a)y-4√(a))y-4a = 0

Ora applichiamo la formula del discriminante per calcolare le soluzioni di tale equazione di secondo grado. Con un po' di calcoletti si arriva a

y_(1,2) = (4a-2a√(a)±2√(a)(a^2+2))/(4a)

Le soluzioni si possono scrivere in una forma un po' migliore con opportuni raccoglimento (lo lascio a te :p ), dopodiché sostituendo

y = √(x)

ed elevando separatamente le due soluzioni al quadrato, si trovano le soluzioni x_(1,2) cercate.

Namasté!

Risposta di Omega

Domande della categoria Superiori - Algebra
Esercizi simili e domande correlate