Soluzioni
  • Ciao Franci, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • L'equazione da risolvere è un'equazione irrazionale fratta

    \frac{\sqrt{a}+\sqrt{x}}{\sqrt{a}-\sqrt{x}}=\frac{a+2}{a-2}

    prima di tutto occupiamoci del parametro a: l'equazione ha senso solamente prendendo valori del parametro a tali che a\geq 0, questo affinché esista la radice \sqrt{a}.

    Inoltre dobbiamo richiedere che sia a\neq +2.

    Poi occupiamoci delle condizioni di esistenza delle soluzioni dell'equazione: affinché l'equazione abbia senso dobbiamo richiedere che

    x\geq 0

    e che

    \sqrt{a}-\sqrt{x}\neq 0\to \sqrt{x}\neq \sqrt{a}\to x\neq a

    Passiamo a risolvere l'equazione, e razionalizziamo a primo membro moltiplicando e dividendo la frazione per \sqrt{a}+\sqrt{x}:

    \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{x})^2}{a-x}=\frac{a+2}{a-2}

    cioè

    \frac{a+2\sqrt{ax}+x}{a-x}=\frac{a+2}{a-2}

    Portiamo tutto a sinistra dell'uguale e calcoliamo il denominatore comune:

    \frac{a+2\sqrt{ax}+x}{a-x}-\frac{a+2}{a-2}=0

    \frac{(a+2\sqrt{ax}+x)(a-2)-(a+2)(a-x)}{(a-x)(a-2)}=0

    dato che x\neq a possiamo cancellare il denominatore

    (a+2\sqrt{ax}+x)(a-2)-(a+2)(a-x)=0

    facciamo i conti

    a^2-2a+2a\sqrt{ax}-4\sqrt{ax}+ax-2x-(a^2-ax+2a-2x)=0

    a^2-2a+2a\sqrt{ax}-4\sqrt{ax}+ax-2x-a^2+ax-2a+2x=0

    -4a+2a\sqrt{ax}-4\sqrt{ax}+2ax=0

    ora poniamo

    y=\sqrt{x}

    per cui l'equazione diventa

    -4a+2a\sqrt{a}y-4\sqrt{a}y+2ay^2=0

    2ay^2+(2a\sqrt{a}y-4\sqrt{a})y-4a=0

    Ora applichiamo la formula del discriminante per calcolare le soluzioni di tale equazione di secondo grado. Con un po' di calcoletti si arriva a

    y_{1,2}=\frac{4a-2a\sqrt{a}\pm2\sqrt{a}(a^2+2)}{4a}

    Le soluzioni si possono scrivere in una forma un po' migliore con opportuni raccoglimento (lo lascio a te :p ), dopodiché sostituendo

    y=\sqrt{x}

    ed elevando separatamente le due soluzioni al quadrato, si trovano le soluzioni x_{1,2} cercate.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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