Equazione irrazionale parametrica

Buongiorno, devo risolvere questa equazione irrazionale con un parametro a.

(Rad(a) + Rad(x)) : (Rad(a) - Rad(x)) = (a+2) : (a-2).

Mi potreste spiegare come fare? Grazie in anticipo!

Domanda di Franci

Soluzioni

Ciao Franci, arrivo a risponderti...
Risposta di Omega
L'equazione da risolvere è un'equazione irrazionale fratta
$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{x}}{\sqrt{a}-\sqrt{x}}=\frac{a+2}{a-2}$
prima di tutto occupiamoci del parametro : l'equazione ha senso solamente prendendo valori del parametro tali che $a\geq 0$ , questo affinché esista la radice $\sqrt{a}$ .
Inoltre dobbiamo richiedere che sia $a\neq +2$ .
Poi occupiamoci delle condizioni di esistenza delle soluzioni dell'equazione: affinché l'equazione abbia senso dobbiamo richiedere che
$x\geq 0$
e che
$\sqrt{a}-\sqrt{x}\neq 0\to \sqrt{x}\neq \sqrt{a}\to x\neq a$
Passiamo a risolvere l'equazione, e razionalizziamo a primo membro moltiplicando e dividendo la frazione per $\sqrt{a}+\sqrt{x}$ :
$\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{x})^2}{a-x}=\frac{a+2}{a-2}$
cioè
$\frac{a+2\sqrt{ax}+x}{a-x}=\frac{a+2}{a-2}$
Portiamo tutto a sinistra dell'uguale e calcoliamo il denominatore comune:
$\frac{a+2\sqrt{ax}+x}{a-x}-\frac{a+2}{a-2}=0$
$\frac{(a+2\sqrt{ax}+x)(a-2)-(a+2)(a-x)}{(a-x)(a-2)}=0$
dato che $x\neq a$ possiamo cancellare il denominatore
$(a+2\sqrt{ax}+x)(a-2)-(a+2)(a-x)=0$
facciamo i conti
$a^2-2a+2a\sqrt{ax}-4\sqrt{ax}+ax-2x-(a^2-ax+2a-2x)=0$
$a^2-2a+2a\sqrt{ax}-4\sqrt{ax}+ax-2x-a^2+ax-2a+2x=0$
$-4a+2a\sqrt{ax}-4\sqrt{ax}+2ax=0$
ora poniamo
$y=\sqrt{x}$
per cui l'equazione diventa
$-4a+2a\sqrt{a}y-4\sqrt{a}y+2ay^2=0$
$2ay^2+(2a\sqrt{a}y-4\sqrt{a})y-4a=0$
Ora applichiamo la formula del discriminante per calcolare le soluzioni di tale equazione di secondo grado. Con un po' di calcoletti si arriva a
$y_{1,2}=\frac{4a-2a\sqrt{a}\pm2\sqrt{a}(a^2+2)}{4a}$
Le soluzioni si possono scrivere in una forma un po' migliore con opportuni raccoglimento (lo lascio a te :p ), dopodiché sostituendo
$y=\sqrt{x}$
ed elevando separatamente le due soluzioni al quadrato, si trovano le soluzioni $x_{1,2}$ cercate.
Namasté!
Risposta di Omega