Soluzioni
  • Ciao Jrgong, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per calcolare l'area della regione di piano compresa tra il grafico della funzione

    y=\frac{x}{x^2+1}

    l'asse delle ascisse e la retta di equazione x=1 si tratta di calcolare l'integrale definito

    \int_{-1}^{1}{\frac{x}{x^2+1}dx}

    L'integrale secondo Riemann di una funzione y=f(x) calcolato su un intervallo [a,b] ha infatti il significato geometrico di area sottesa dal grafico della funzione y=f(x) sull'intervallo [a,b].

    Calcoliamo

    \int_{-1}^{1}{\frac{x}{x^2+1}dx}

    e per farlo è sufficiente moltiplicare e dividere l'integranda per 2: in questo modo

    \int_{-1}^{1}{\frac{1}{2}\frac{2x}{x^2+1}dx}

    per una nota proprietà dell'integrale secondo Riemann (omogeneità) possiamo portare fuori la costante moltiplicativa 1/2

    \frac{1}{2}\int_{-1}^{1}{\frac{2x}{x^2+1}dx}

    L'integranda ha come primitiva un logaritmo

    \frac{1}{2}\int_{-1}^{1}{\frac{2x}{x^2+1}dx}=\frac{1}{2}\left[\log{(x^2+1)}\right]_{-1}^{1}=\frac{1}{2}[\log{(2)}-\log{(2)}]=0

    Questo, però, è il valore dell'integrale, e non dell'area sottesa dal grafico della funzione!

    Il punto è che l'area è un valore numerico positivo, mentre l'integrale secondo Riemann fornisce sì il valore dell'area, ma con segno.

    Per trovare l'area sottesa dal grafico della funzione, possiamo osservare che la funzione f(x)=x/(x^2+1) è dispari, quindi simmetrica rispetto all'origine, e calcolare

    2\int_{0}^{1}{\frac{x}{x^2+1}dx}=

    =2\cdot \frac{1}{2}[\log{(2)}-\log{(1)}]=\log{(2)}

    abbiamo finito Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie mille :D

     

    Risposta di jrgong
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Algebra