Soluzioni
  • Il limite

    lim_(x → +∞)((x^2-3x+1)/(x^2+3x+1))^(x+1) = (•)

    genera una forma indeterminata del tipo [1^(+∞)] che può essere sciolta ricorrendo al limite notevole neperiano in forma generale:

    lim_(h(x) → +∞)(1+(1)/(h(x)))^(h(x)) = e

    Affinché il limite notevole possa essere innescato utilizziamo dei barbatrucchi: sommiamo e sottraiamo 3x al numeratore della base

    (•) = lim_(x → +∞)((x^2+3x-3x-3x+1)/(x^2+3x+1))^(x+1) =

    e riordiniamo i termini così che sia chiaro dove andremo a parare

    = lim_(x → +∞)((x^2+3x+1-6x)/(x^2+3x+1))^(x+1) =

    Distribuiamo furbescamente il denominatore e in seguito semplifichiamo

     = lim_(x → +∞)((x^2+3x+1)/(x^2+3x+1)-(6x)/(x^2+3x+1))^(x+1) = lim_(x → +∞)(1-(6x)/(x^2+3x+1))^(x+1) =

    Modifichiamo algebricamente l'espressione del limite

    = lim_(x → +∞)(1+(1)/(-(x^2+3x+1)/(6x)))^(x+1) = (• •)

    in modo tale comprendiamo qual è la funzione avente il ruolo di h(x).

    h(x) = -(x^2+3x+1)/(6x)

    Al fine di innescare il limite notevole abbiamo bisogno che h(x) compaia all'esponente e per fare in modo che ciò avvenga moltiplichiamo e dividiamo quest'ultimo per h(x)

    (• •) = lim_(x → +∞)(1+(1)/(-(x^2+3x+1)/(6x)))^(-(x^2+3x+1)/(6x)·(x+1)/(-(x^2+3x+1)/(6x))) =

    Invochiamo le proprietà delle potenze relativo ad una potenza di una potenza così che il limite diventi

    = lim_(x → +∞)[(1+(1)/(-(x^2+3x+1)/(6x)))^(-(x^2+3x+1)/(6x))]^((x+1)/(-(x^2+3x+1)/(6x)))

    Il termine che giace tra le parentesi quadre tende ad e, concordemente con quanto scaturito dal limite notevole neperiano. Vediamo a cosa tende l'esponente, ossia analizziamo il limite

    lim_(x → +∞)(x+2)/(-(x^2+3x+1)/(6x)) =

    non prima di avere espresso la frazione di frazioni in forma normale

    = lim_(x → +∞)-((x+2)·6x)/(x^2+3x+1) = lim_(x → +∞)(-6x^2-12x)/(x^2+3x+1) = -6

    Con le informazioni in nostro possesso possiamo concludere che il limite è e^(-6)

    = lim_(x → +∞)[(1+(1)/(-(x^2+3x+1)/(6x)))^(-(x^2+3x+1)/(6x))]^((x+1)/(-(x^2+3x+1)/(6x))) = e^(-6)

    Abbiamo portato a termine il nostro compito.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi Matematica