Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2-3x+1}{x^2+3x+1}\right)^{x+1}=(\bullet)

    genera una forma indeterminata del tipo [1^{+\infty}] che può essere sciolta ricorrendo al limite notevole neperiano in forma generale:

    \lim_{h(x)\to+\infty}\left(1+\frac{1}{h(x)}\right)^{h(x)}=e

    Affinché il limite notevole possa essere innescato utilizziamo dei barbatrucchi: sommiamo e sottraiamo 3x al numeratore della base

    (\bullet)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2+3x-3x-3x+1}{x^2+3x+1}\right)^{x+1}=

    e riordiniamo i termini così che sia chiaro dove andremo a parare

    =\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2+3x+1-6x}{x^2+3x+1}\right)^{x+1}=

    Distribuiamo furbescamente il denominatore e in seguito semplifichiamo

    \\ =\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2+3x+1}{x^2+3x+1}-\frac{6x}{x^2+3x+1}\right)^{x+1}=\\ \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{6x}{x^2+3x+1}\right)^{x+1}=

    Modifichiamo algebricamente l'espressione del limite

    =\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{-\frac{x^2+3x+1}{6x}}\right)^{x+1}=(\bullet\bullet)

    in modo tale comprendiamo qual è la funzione avente il ruolo di h(x).

    h(x)=-\frac{x^2+3x+1}{6x}

    Al fine di innescare il limite notevole abbiamo bisogno che h(x) compaia all'esponente e per fare in modo che ciò avvenga moltiplichiamo e dividiamo quest'ultimo per h(x)

    (\bullet\bullet)=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{-\tfrac{x^2+3x+1}{6x}}\right)^{-\tfrac{x^2+3x+1}{6x}\cdot\tfrac{x+1}{-\tfrac{x^2+3x+1}{6x}}}=

    Invochiamo le proprietà delle potenze relativo ad una potenza di una potenza così che il limite diventi

    =\lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{-\frac{x^2+3x+1}{6x}}\right)^{-\tfrac{x^2+3x+1}{6x}}\right]^{\tfrac{x+1}{-\tfrac{x^2+3x+1}{6x}}}

    Il termine che giace tra le parentesi quadre tende ad e, concordemente con quanto scaturito dal limite notevole neperiano. Vediamo a cosa tende l'esponente, ossia analizziamo il limite

    \lim_{x\to+\infty}\frac{x+2}{-\frac{x^2+3x+1}{6x}}=

    non prima di avere espresso la frazione di frazioni in forma normale

    =\lim_{x\to+\infty}-\frac{(x+2)\cdot 6x}{x^2+3x+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-6x^2-12x}{x^2+3x+1}=-6

    Con le informazioni in nostro possesso possiamo concludere che il limite è e^{-6}

    =\lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{-\frac{x^2+3x+1}{6x}}\right)^{-\tfrac{x^2+3x+1}{6x}}\right]^{\tfrac{x+1}{-\tfrac{x^2+3x+1}{6x}}}=e^{-6}

    Abbiamo portato a termine il nostro compito.

    Risposta di Ifrit
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