Limite esponenziale con rapporto come base

Dovrei calcolare il limite di una funzione esponenziale a base variabile e da quello che ho intuito dovrebbe presentare una forma di indecisione del tipo 1 alla infinito.

lim_(x → +∞)((x^2-3x+1)/(x^2+3x+1))^(x+1)

Grazie.

Domanda di fioccoSmile

Soluzioni

Il limite
genera una forma indeterminata del tipo che può essere sciolta ricorrendo al limite notevole neperiano in forma generale:
Affinché il limite notevole possa essere innescato utilizziamo dei barbatrucchi: sommiamo e sottraiamo al numeratore della base
e riordiniamo i termini così che sia chiaro dove andremo a parare
Distribuiamo furbescamente il denominatore e in seguito semplifichiamo
Modifichiamo algebricamente l'espressione del limite
in modo tale comprendiamo qual è la funzione avente il ruolo di .
Al fine di innescare il limite notevole abbiamo bisogno che compaia all'esponente e per fare in modo che ciò avvenga moltiplichiamo e dividiamo quest'ultimo per
Invochiamo le proprietà delle potenze relativo ad una potenza di una potenza così che il limite diventi
Il termine che giace tra le parentesi quadre tende ad , concordemente con quanto scaturito dal limite notevole neperiano. Vediamo a cosa tende l'esponente, ossia analizziamo il limite
non prima di avere espresso la frazione di frazioni in forma normale
Con le informazioni in nostro possesso possiamo concludere che il limite è
Abbiamo portato a termine il nostro compito.
Risposta di Ifrit