Limite esponenziale con rapporto come base

Dovrei calcolare il limite di una funzione esponenziale a base variabile e da quello che ho intuito dovrebbe presentare una forma di indecisione del tipo 1 alla infinito.

lim_(x → +∞)((x^2−3x+1)/(x^2+3x+1))^(x+1)

Grazie.

Domanda di fioccoSmile
Soluzione

Il limite

lim_(x → +∞)((x^2−3x+1)/(x^2+3x+1))^(x+1) = (•)

genera una forma indeterminata del tipo [1^(+∞)] che può essere sciolta ricorrendo al limite notevole neperiano in forma generale:

lim_(h(x) → +∞)(1+(1)/(h(x)))^(h(x)) = e

Affinché il limite notevole possa essere innescato utilizziamo dei barbatrucchi: sommiamo e sottraiamo 3x al numeratore della base

(•) = lim_(x → +∞)((x^2+3x−3x−3x+1)/(x^2+3x+1))^(x+1) =

e riordiniamo i termini così che sia chiaro dove andremo a parare

= lim_(x → +∞)((x^2+3x+1−6x)/(x^2+3x+1))^(x+1) =

Distribuiamo furbescamente il denominatore e in seguito semplifichiamo

 = lim_(x → +∞)((x^2+3x+1)/(x^2+3x+1)−(6x)/(x^2+3x+1))^(x+1) = lim_(x → +∞)(1−(6x)/(x^2+3x+1))^(x+1) =

Modifichiamo algebricamente l'espressione del limite

= lim_(x → +∞)(1+(1)/(−(x^2+3x+1)/(6x)))^(x+1) = (• •)

in modo tale comprendiamo qual è la funzione avente il ruolo di h(x).

h(x) = −(x^2+3x+1)/(6x)

Al fine di innescare il limite notevole abbiamo bisogno che h(x) compaia all'esponente e per fare in modo che ciò avvenga moltiplichiamo e dividiamo quest'ultimo per h(x)

(• •) = lim_(x → +∞)(1+(1)/(−(x^2+3x+1)/(6x)))^(−(x^2+3x+1)/(6x)·(x+1)/(−(x^2+3x+1)/(6x))) =

Invochiamo le proprietà delle potenze relativo ad una potenza di una potenza così che il limite diventi

= lim_(x → +∞)[(1+(1)/(−(x^2+3x+1)/(6x)))^(−(x^2+3x+1)/(6x))]^((x+1)/(−(x^2+3x+1)/(6x)))

Il termine che giace tra le parentesi quadre tende ad e, concordemente con quanto scaturito dal limite notevole neperiano. Vediamo a cosa tende l'esponente, ossia analizziamo il limite

lim_(x → +∞)(x+2)/(−(x^2+3x+1)/(6x)) =

non prima di avere espresso la frazione di frazioni in forma normale

= lim_(x → +∞)−((x+2)·6x)/(x^2+3x+1) = lim_(x → +∞)(−6x^2−12x)/(x^2+3x+1) = −6

Con le informazioni in nostro possesso possiamo concludere che il limite è e^(−6)

= lim_(x → +∞)[(1+(1)/(−(x^2+3x+1)/(6x)))^(−(x^2+3x+1)/(6x))]^((x+1)/(−(x^2+3x+1)/(6x))) = e^(−6)

Abbiamo portato a termine il nostro compito.

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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