Limite esponenziale con rapporto come base

Question

Dovrei calcolare il limite di una funzione esponenziale a base variabile e da quello che ho intuito dovrebbe presentare una forma di indecisione del tipo 1 alla infinito. lim_(x → +∞)((x^2-3x+1)/(x^2+3x+1))^(x+1) Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Il limite lim_(x → +∞)((x^2-3x+1)/(x^2+3x+1))^(x+1) = (•) genera una forma indeterminata del tipo [1^(+∞)] che può essere sciolta ricorrendo al limite notevole neperiano in forma generale: lim_(h(x) → +∞)(1+(1)/(h(x)))^(h(x)) = e Affinché il limite notevole possa essere innescato utilizziamo dei barbatrucchi: sommiamo e sottraiamo 3x al numeratore della base (•) = lim_(x → +∞)((x^2+3x-3x-3x+1)/(x^2+3x+1))^(x+1) = e riordiniamo i termini così che sia chiaro dove andremo a parare = lim_(x → +∞)((x^2+3x+1-6x)/(x^2+3x+1))^(x+1) = Distribuiamo furbescamente il denominatore e in seguito semplifichiamo ; = lim_(x → +∞)((x^2+3x+1)/(x^2+3x+1)-(6x)/(x^2+3x+1))^(x+1) = lim_(x → +∞)(1-(6x)/(x^2+3x+1))^(x+1) = Modifichiamo algebricamente l'espressione del limite = lim_(x → +∞)(1+(1)/(-(x^2+3x+1)/(6x)))^(x+1) = (• •) in modo tale comprendiamo qual è la funzione avente il ruolo di h(x). h(x) = -(x^2+3x+1)/(6x) Al fine di innescare il limite notevole abbiamo bisogno che h(x) compaia all'esponente e per fare in modo che ciò avvenga moltiplichiamo e dividiamo quest'ultimo per h(x) (• •) = lim_(x → +∞)(1+(1)/(-(x^2+3x+1)/(6x)))^(-(x^2+3x+1)/(6x)·(x+1)/(-(x^2+3x+1)/(6x))) = Invochiamo le proprietà delle potenze relativo ad una potenza di una potenza così che il limite diventi = lim_(x → +∞)[(1+(1)/(-(x^2+3x+1)/(6x)))^(-(x^2+3x+1)/(6x))]^((x+1)/(-(x^2+3x+1)/(6x))) Il termine che giace tra le parentesi quadre tende ad e, concordemente con quanto scaturito dal limite notevole neperiano. Vediamo a cosa tende l'esponente, ossia analizziamo il limite lim_(x → +∞)(x+2)/(-(x^2+3x+1)/(6x)) = non prima di avere espresso la frazione di frazioni in forma normale = lim_(x → +∞)-((x+2)·6x)/(x^2+3x+1) = lim_(x → +∞)(-6x^2-12x)/(x^2+3x+1) = -6 Con le informazioni in nostro possesso possiamo concludere che il limite è e^(-6) = lim_(x → +∞)[(1+(1)/(-(x^2+3x+1)/(6x)))^(-(x^2+3x+1)/(6x))]^((x+1)/(-(x^2+3x+1)/(6x))) = e^(-6) Abbiamo portato a termine il nostro compito.