Soluzioni
  • Consideriamo la funzione fratta

    f(x)=\frac{1}{4+2^{\frac{1}{x}}}

    e calcoliamone il suo dominio, stando attenti alla presenza della frazione all'esponente di 2. Dobbiamo pertanto richiedere che x\ne0.

    Osserviamo che il denominatore

    4+2^{\frac{1}{x}}

    è certamente diverso da 0 perché somma tra una costante positiva e una funzione esponenziale. A conti fatti, dunque, il dominio della funzione è

    Dom(f)=(-\infty, 0)\cup (0, +\infty)

    In accordo con l'algebra delle funzioni continue, la funzione f(x) è continua nel suo dominio in quanto rapporto di funzioni continue, dobbiamo però analizzare il suo comportamento nell'intorno di 0, analizzando il limite destro e sinistro per x\to0.

    Calcoliamo il limite destro osservando che l'esponente di 2 tende a +infinito

    \frac{1}{x}\to_{x\to0^{+}}\left[\frac{1}{0^{+}}\right]=+\infty

    e tenendo conto del comportamento dell'esponenziale con base maggiore di 1 a +infinito concludiamo che

    \lim_{x\to0^{+}}f(x)=\lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{4+2^{\frac{1}{x}}}=\left[\frac{1}{+\infty}\right]=0

    Quando x\to0^{-}, ossia quando x\to0da sinistra l'esponente tende a - infinito questa volta

    \frac{1}{x}\to_{x\to0^{-}}-\infty

    e in base al comportamento della funzione esponenziale nell'intorno di -infinito concludiamo che il limite sinistro vale \frac{1}{4}

    \lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{4+2^{\frac{1}{x}}}=\left[\frac{1}{4+2^{-\infty}}\right]=\frac{1}{4}

    Il limite destro e il limite sinistro per x\to0 sono finiti e distinti, di conseguenza x=0 è un punto di discontinuità di prima specie.

    Risposta di Ifrit
 
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