Soluzioni
  • I) L'integrale

    \int x\ln(x)dx

    si risolve con il metodo di integrazione per parti.

    Osserviamo che l'integranda è prodotto di due funzioni che sono rispettivamente la funzione identità y=x e la funzione logaritmica y=\ln(x).

    Per utilizzare la formula di integrazione per parti

    \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx

    dobbiamo intuire quale termine svolge il ruolo di fattore finito f(x) e quale il ruolo di fattore differenziale g'(x).

    Una buona regola per comprendere in che modo scegliere f(x)\mbox{ e }g'(x) consiste nel ragionare come segue: f(x) deve essere una funzione facile da derivare, mentre g'(x) deve essere facile da integrare.

    Nel caso che stiamo analizzando la funzione facile da integrare tra y=x\mbox{ e }y=\ln(x) è g'(x)=x e infatti possiede una primitiva nota.

    Come fattore finito, facile da derivare prendiamo per esclusione f(x)=\ln(x).

    Calcoliamo la derivata del logaritmo e l'integrale di x

    \\ f(x)=\ln(x)\implies f'(x)=\frac{1}{x}\\ \\ g'(x)=x\implies g(x)=\frac{x^2}{2}

    e sostituiamo ordinatamente le funzioni ottenute nella formula di integrazione per parti

    \\ \int x\ln(x)dx=\frac{x^2}{2}\ln(x)-\int\frac{1}{x}\cdot\frac{x^2}{2}dx=\\ \\ \\ =\frac{x^2}{2}\ln(x)-\frac{1}{2}\int xdx=

    \int xdx è un integrale immediato pertanto la precedente espressione diventa

    \\ =\frac{x^2}{2}\ln(x)-\frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2}+c=\\ \\ \\ =\frac{x^2}{2}\ln(x)-\frac{1}{4}x^2+c

    Non sottovalutiamo l'importanza della costante additiva c che variando nell'insieme dei numeri reali individua l'insieme le primitive dell'integranda ossia l'integrale indefinito e l'esercizio è concluso.

    II) L'esercizio chiede di determinare il seguente integrale indefinito

    \int x e^{x}dx

    Notiamo subito che l'integranda è il prodotto di due funzioni: la funzione identità y=x e la funzione esponenziale y=e^{x} e quando compare un prodotto, l'integrazione per parti si candida subito come metodo risolutivo.

    La formula è uguale a quella che abbiamo scritto in precedenza, dobbiamo solo scegliere chi è la funzione facile da derivare, ossia f(x), e la funzione facile da integrare, g'(x).

    Sia la funzione esponenziale che la funzione identità sono ottimi candidati per diventare f(x), in tal caso però è opportuno scegliere f(x)=x\mbox{ e }g'(x)=e^{x}.

    Osserviamo infatti che

    \\ f(x)=x\implies f'(x)=1\\ \\ g'(x)=e^{x}\implies g(x)=e^{x}

    e grazie alla formula di integrazione per parti

    \int x e^{x}dx= x e^{x}-\int e^{x}dx=\\ \\ = x e^{x}-e^{x}+c

    dove c è una costante reale.

    III) Nel terzo esercizio è presente invece un integrale immediato

    \int\frac{\cos(x)}{1+\sin^2(x)}dx

    Esso si presenta infatti nella forma

    \int\frac{h'(x)}{1+(h(x))^2}dx=\arctan(h(x))+c

    dove h(x) è la funzione seno di x, mentre h'(x)=\cos(x) è la derivata del seno. Possiamo concludere che

    \int\frac{\cos(x)}{1+\sin^2(x)}dx=\arctan(\sin(x))+c.

    E abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
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