Soluzioni
  • Determiniamo i punti di discontinuità della funzione razionale fratta

    f(x)=\frac{x^2+2x+4}{x-2}

    analizzando per prima cosa il suo dominio, dettato dalla condizione:

    x-2\ne0\to x\ne 2

    Essendo una funzione razionale fratta, infatti, dobbiamo richiedere che il denominatore di f(x) sia non nullo.

    Scriviamo il dominio come unione di intervalli:

    Dom(f)=(-\infty,2)\cup (2,+\infty)

    ed osserviamo che per ogni x\in Dom(f) la funzione è continua perché quoziente di funzioni continue.

    x=2 annulla il denominatore, quindi è un punto di discontinuità. Per decidere di che tipo di discontinuità si tratta studiamo il comportamento di f(x) nell'intorno di 2, calcolando il limite destro e sinistro per x\to2.

    Grazie all'algebra degli infiniti e infinitesimi concludiamo abbastanza agilmente che il limite destro e sinistro valgono rispettivamente +\infty, \ -\infty infatti

    \\ \lim_{x\to2^{+}}\frac{x^2+2x+4}{x-2}=\left[\frac{12}{0^{+}}\right]=+\infty \\ \\ \\ \lim_{x\to2^{-2}}\frac{x^2+2x+4}{x-2}=\left[\frac{12}{0^{-}}\right]=-\infty

    Poiché il limite destro e il limite sinistro sono infiniti, possiamo concludere che x=2 è un punto di discontinuità di seconda specie e dunque siamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x=2.

    Risposta di Ifrit
 
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