Soluzioni
  • Abbiamo a che fare con una piramide regolare triangolare, cioè con una piramide che ha per base un triangolo equilatero con il riportare i dati. Chiamiamo a l'apotema, \ell lo spigolo di base della piramide.

    \begin{cases}a-\ell=14\,\, cm\\ \frac{a}{\ell}=\frac{16}{9}\\ A_{t.\,rett}=S_{lat.}\\ \end{cases}

    Dobbiamo calcolare l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che è equivalente alla superficie laterale della piramide, ed ha i cateti nel rapporto \frac{4}{3}.

    Calcoliamo l'apotema impostando la proporzione:

    a:\ell=16:9

    Utilizziamo la proprietà dello scomporre:

    (a-\ell):\ell=(16-9):9

    Sostituiamo i numeri :) 

    14:\ell=7:9

    \ell= (14\times 9):7= 18\,\, cm

    Sempre per la proprietà dello scomporre:

    a:(a-\ell)=16:(16-9)

    a:14=16:7

    Possiamo determinare a.

    a=(14\times 16):7=32\,\, cm

    Abbiamo sia lo spigolo della piramide regolare sia l'apotem, questo ci permetterà di determinare la superficie laterale:

    S_{lat}=\frac{P\times a}{2}= \frac{3\times \ell\times a}{2}=\frac{3\times 18\,\,cm\times 32\,\,cm}{2}=864\,\,cm^2

    Con la lettera P intendo il perimetro del triangolo equilatero di base. A questo punto dobbiamo concentrarci sul triangolo rettangolo. Di esso conosciamo l'area perché è equivalente alla superficie laterale della piramide, inoltre sappiamo che il rapporto tra i due cateti è \frac{4}{3}.

    Moltiplichiamo per due l'area del triangolo così da ottenere il prodotto tra i cateti:

    c_1\times c_2= 2\times A_{t.rett}= 2\times 864\,\,cm^2=1728\,\,cm^2

    e questo è un tipico problema sui segmenti con prodotto e rapporto.

    Determiniamo l'area del quadrato unitario:

    \mbox{Area}_{Q}=\frac{c_1\times c_2}{4\times 3}=\frac{1728}{12}=144\,\,cm^2

    Estraiamo la radice quadrata così da ottenere l'unità frazionaria:

    u=\sqrt{\mbox{Area}_{Q}}=\sqrt{144}=12\,\, cm

    Moltiplichiamo l'unità frazionaria per il numeratore del rapporto così da ottenere un cateto:

    c_1=u\times 4= 12\times 4= 48\,\,cm

    Il secondo cateto si ottiene moltiplicando l'unità per il denominatore:

    c_2=u\times 3=12\times 3=36\,\,cm

    Abbiamo i due cateti e grazie al teorema di Pitagora possiamo calcolare l'ipotenusa:

    i=\sqrt{c_1^2+c_2^2}=\sqrt{3600}=60\,\,cm

    Abbiamo finito. Se vuoi controllare i conti puoi utilizzare la calcolatrice.

    Risposta di Omega
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