Soluzioni
  • Ciao Francesca, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per quanto riguarda la circonferenza \gamma_1, sapendo che il centro è C_1=(0,4) e sapendo che è tangente all'asse delle ascisse, si vede subito che il raggio deve necessariamente misurare 4, perché il raggio che congiunge il centro della circonferenza e il punto di tangenza è perpendicolare alla retta tangente nel punto considerato.

    L'equazione di \gamma_1 è

    (x)^2+(y-4)^2=16

    avendo fatto riferimento alla generica equazione della circonferenza di centro (x_C,y_C) e raggio r

    (x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2

    Per quanto riguarda la circonferenza \gamma_2 simmetrica rispetto alla bisettrice del primo-terzo quadrante alla circonferenza \gamma_1, ci basta individuare il simmetrico di C_1 rispetto alla retta y=x. Non dobbiamo fare nemmeno mezzo calcolo, perché già ad occhio si vede che C_2=(4,0), e dunque

    (x-4)^2+(y)^2=r^2

    Le due circonferenze sono quindi date da

    \gamma_1\mbox{ : }x^2+y^2-8y=0

    \gamma_2\mbox{ : }x^2-8x+y^2=0

    Il fascio di circonferenze generato da \gamma_1,\gamma_2 è dato da

    x^2+y^2-8y+k(x^2-8x+y^2)=0

    cioè

    (1+k)x^2-8kx+(1+k)y^2-8y=0

    Mettendo a sistema tale equazione con l'equazione della retta y+x=0, cioè

    y=-x

    otteniamo un'equazione di secondo grado in x

    (1+k)x^2-8kx+(1+k)x^2+8x=0

    cioè

    2(1+k)x^2+8(1-k)x=0

    Questa equazione ha due soluzioni: per trovarle basta riscriverla nella forma

    x[2(1+k)x+8(1-k)]=0

    e quindi

    x=0

    x=\frac{8(k-1)}{2(k+1)}

    A tali ascisse corrispondono le ordinate

    y=0

    \frac{4(1-k)}{k+1}

    Imponendo che la distanza tra i due punti

    (0,0),\left(\frac{4(k-1)}{k+1},\frac{4(1-k)}{k+1}\right)

    sia pari a 8\sqrt{2} si determina il valore di k che individua la circonferenza cercata.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • grazie mille!

    Risposta di Francesca
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