Soluzioni
  • Ciao Nello :)

    Come prima cosa disegniamoci i solidi ed i poligoni coinvolti: una piramide quadrangolare regolare, un triangolo rettangolo ed un rettangolo assegnando una lettera ad ogni vertice.

     

    Piramide, triangolo e rettangolo

     

    Fatto questo riportiamoci i dati del problema; per quanto riguarda la piramide sappiamo che l'altezza è di 5 cm e l'area di base (che è un quadrato) è 576 cm2, ovvero:

    VK=5 \ \mbox{cm}

    S_{(ABCD)}=576 \ \mbox{cm}^2

    Dobbiamo calcolare l'area della superficie laterale Slat e della superficie totale Stot.

    Del triangolo rettangolo conosciamo invece la misura di un cateto

    EG=80 \ \mbox{cm} 

    e sapendo che equivale ai 5/2 della superficie laterale della piramide, cioè

    S_{(EFG)}=\frac{5}{2}S_{lat} 

    dobbiamo trovare la misura dell'ipotenusa EF.

    Infine, del rettangolo, si sa che le sue dimensioni stanno nel rapporto 3/4, cioè

    OL:LM=3:4

    e che è equivalente alla superficie totale della piramide

    S_{(LMNO)}=S_{tot}

    Dobbiamo trovare la misura della diagonale OM.

     

    Iniziamo!

    Dato che la piramide regolare (click per tutte le formule) ha per base un quadrato di cui conosciamo l'area, possiamo trovare la misura del lato:

    AB=\sqrt{576}=24 \ \mbox{cm}

    e quindi la lunghezza dell'apotema facendo ricorso al teorema di Pitagora:

    VH=\sqrt{VH^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\sqrt{25+144}=13 \ \mbox{cm}

    L'area della superficie laterale della piramide è quindi

    S_{lat}=\frac{2p_{(ABCD)} \cdot VH}{2} = \frac{96 \cdot 13}{2})=624 \ \mbox{cm}^2

    e quella della superficie totale

    S_{tot}=S_{(ABCD)} + S_{lat} = 576+624=1200 \ \mbox{cm}^2

    -----

    Passiamo ora al triangolo rettangolo. Possiamo immediatamente trovare la sua area:

    S_{(EFG)}=\frac{5}{2} \cdot S_{lat} = \frac{5}{2} \cdot 624 = 1560 \ \mbox{cm}^2

    Sfruttando ora le formule per l'area possiamo trovare la misura del cateto GF:

    GF=\frac{2 \cdot S_{(EFG)}}{EG}=\frac{3120}{80}=39 \ \mbox{cm} 

    e calcolare l'ipotenusa con il teorema di Pitagora

    EF=\sqrt{GF^2 + EG^2}=\sqrt{39^2+80^2}=\sqrt{7921}=89 \ \mbox{cm}

    -----

    Passiamo, infine, al rettangolo, la cui area è data da

    S_{(LMNO)}=S_{tot}=1200 \ \mbox{cm}^2

    Ora, ricordando che l'area del rettangolo è data dal prodotto delle sue dimensioni

    OL \cdot LM = 1200 \ \mbox{cm}^2

    e sapendo che

    OL:LM=3:4

    per la proprietà fondamentale delle proporzioni 

    3LM=4OL

    ovvero

    LM=\frac{3}{4}OL

    che, sostituita nella prima relazione, ci porta ad avere

    OL \cdot \frac{3}{4}OL = 1200

    OL^2=\frac{4}{3} \cdot 1200 = 1600

    OL=\sqrt{1600}=40 \ \mbox{cm}

    e quindi

    LM=\frac{3}{4}OL = \frac{3}{4}\cdot 40 = 30 \ \mbox{cm}

    La diagonale del rettangolo si trova, ancora una volta, con il teorema di Pitagora:

    OM=\sqrt{LM^2+OL^2}=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}

    la cui radice quadrata è uguale a 50, ovvero

    OM=50 \ \mbox{cm}

    Risposta di Omega
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