Massimo comun divisore e minimo comune multiplo di polinomi

Question

Mi serve il vostro aiuto per determinare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo tra polinomi. Penso di aver capito la teoria, però non sono tanto bravo a scomporre i polinomi in fattori irriducibili. Ad esempio, come si svolge il seguente esercizio? Determinare MCD e mcm dei seguenti polinomi 2x^4−2x^2 ; 6x^6−6x^3 ; 4x^4+4x^3−8x^2 Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Il primo passaggio che consente di calcolare il massimo comune divisore i tra polinomi

consiste nella loro fattorizzazione in fattori primi. Sia chiaro che anche per il minimo comune multiplo tra i polinomi bisogna conoscere la scomporli con le opportune tecniche di scomposizione, tra le quali ricordiamo: il raccoglimento totale, il raccoglimento totale o ancora la scomposizione mediante prodotti notevoli.

Procediamo con ordine e scomponiamo il polinomio

osservando che i termini che lo compongono hanno come fattore comune e operando il suo raccoglimento, otteniamo:

Non abbiamo ancora terminato perché all'interno delle parentesi tonde compare la differenza dei quadrati di che può essere decomposta come prodotto tra la loro somma e la loro differenza

Fattorizzato il primo, occupiamoci della scomposizione del secondo polinomio, vale a dire:

Effettuiamo il raccoglimento totale di

e fattorizziamo infine la differenza dei cubi di con la regola omonima:

Possiamo dedicarci alla scomposizione del terzo polinomio

mettendo in evidenza il fattore comune

Tra parentesi tonde troviamo un trinomio speciale che può essere decomposto trovando due numeri la cui somma coincide con il coefficiente di , vale a dire 1, e il cui prodotto è uguale al termine noto, ossia -2. I numeri che soddisfano le condizioni sono rispettivamente , pertanto possiamo scrivere:

Perfetto! Facciamo il punto della situazione, riportando le scomposizioni dei polinomi una di seguito all'altra, in questo modo sarà facilissimo calcolare il loro massimo comune divisore e il loro minimo comune multiplo.

• 2x^4−2x^2 = 2x^2(x−1)(x+1) ; • 6x^6−6x^3 = 6x^3(x−1)(x^2+x+1) ; • 4x^4+4x^3−8x^2 = 4x^2(x−1)(x+2)

Ricordiamo che il massimo comune divisore tra polinomi è il polinomio che si ottiene moltiplicando tra loro i fattori comuni, presi una sola volta, con il più piccolo esponente, nel nostro caso:

Osservazione: il coefficiente 2 è il massimo comune divisore tra i numeri 2, 6 e 4 che compaiono nelle scomposizioni.

Il minimo comune multiplo tra polinomi è invece il polinomio che si ottiene moltiplicando tra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente, nel caso in esame:

Osservazione: il coefficiente 12 è il minimo comune multiplo tra i numeri 2, 6 e 4 che compaiono nelle scomposizioni.

Abbiamo terminato.