Soluzioni
  • Il primo passaggio che consente di calcolare il massimo comune divisore i tra polinomi

    2x^4-2x^2 \ \ \ ; \ \ \ 6x^6-6x^3 \ \ \ ; \ \ \ 4x^4+4x^3-8x^2

    consiste nella loro fattorizzazione in fattori primi. Sia chiaro che anche per il minimo comune multiplo tra i polinomi bisogna conoscere la scomporli con le opportune tecniche di scomposizione, tra le quali ricordiamo: il raccoglimento totale, il raccoglimento totale o ancora la scomposizione mediante prodotti notevoli.

    Procediamo con ordine e scomponiamo il polinomio

    2x^4-2x^2=

    osservando che i termini che lo compongono hanno 2x^2 come fattore comune e operando il suo raccoglimento, otteniamo:

    =2x^2(x^2-1)=

    Non abbiamo ancora terminato perché all'interno delle parentesi tonde compare la differenza dei quadrati di x\ \mbox{e} \ 1 che può essere decomposta come prodotto tra la loro somma e la loro differenza

    =2x^2(x-1)(x+1)

    Fattorizzato il primo, occupiamoci della scomposizione del secondo polinomio, vale a dire:

    6x^6-6x^3=

    Effettuiamo il raccoglimento totale di 6x^3

    =6x^3(x^3-1)

    e fattorizziamo infine la differenza dei cubi di x\ \mbox{e} \ 1 con la regola omonima:

    =6x^3(x-1)(x^2+x+1)

    Possiamo dedicarci alla scomposizione del terzo polinomio

    4x^4+4x^3-8x^2=

    mettendo in evidenza il fattore comune 4x^2

    =4x^2(x^2+x-2)=

    Tra parentesi tonde troviamo un trinomio speciale che può essere decomposto trovando due numeri a\ \mbox{e} \ b la cui somma coincide con il coefficiente di x, vale a dire 1, e il cui prodotto è uguale al termine noto, ossia -2. I numeri a\ \mbox{e} \ b che soddisfano le condizioni sono rispettivamente -1\ \mbox{e} \ 2, pertanto possiamo scrivere:

    =4x^2(x-1)(x+2)

    Perfetto! Facciamo il punto della situazione, riportando le scomposizioni dei polinomi una di seguito all'altra, in questo modo sarà facilissimo calcolare il loro massimo comune divisore e il loro minimo comune multiplo.

    \\ \bullet \ \ \ 2x^4-2x^2=2x^2(x-1)(x+1) \\ \\  \bullet \ \ \  6x^6-6x^3=6x^3(x-1)(x^2+x+1) \\ \\  \bullet \ \ \ 4x^4+4x^3-8x^2=4x^2(x-1)(x+2)

    Ricordiamo che il massimo comune divisore tra polinomi è il polinomio che si ottiene moltiplicando tra loro i fattori comuni, presi una sola volta, con il più piccolo esponente, nel nostro caso:

    MCD=2x^2(x-1)

    Osservazione: il coefficiente 2 è il massimo comune divisore tra i numeri 2, 6 e 4 che compaiono nelle scomposizioni.

    Il minimo comune multiplo tra polinomi è invece il polinomio che si ottiene moltiplicando tra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente, nel caso in esame:

    mcm=12x^3(x-1)(x+1)(x+2)(x^2+x+1)

    Osservazione: il coefficiente 12 è il minimo comune multiplo tra i numeri 2, 6 e 4 che compaiono nelle scomposizioni.

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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