M.C.D e m.c.m tra polinomi

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Non riesco a calcolare M.C.D. e m.c.m tra tre polinomi. Il mio problema risiede essenzialmente nello scomporre i polinomi dati come prodotto di fattori irriducibili, pertanto mi è impossibile portare a termine l'esercizio.

 

Calcolare il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore fra i polinomi

 

x^5-x^2 ; x^3+x^2+x ; (x^2+x)^2-1

 

Grazie.

Domanda di marcello

 
Soluzioni

  • Per determinare il minimo comune multiplo tra polinomi e il massimo comune divisore tra polinomi bisogna procedere con un ragionamento simile a quello per ricavare minimo comune multiplo e massimo comune divisore fra numeri.

    Il primo passo prevede di scomporre i polinomi

    x^5-x^2 ; x^3+x^2+x ; (x^2+x)^2-1

    avvalendosi delle opportune tecniche di fattorizzazione, quali: il raccoglimento totale, il raccoglimento parziale, la scomposizione mediante prodotti notevoli o la famigerata regola di Ruffini.

    Per scomporre il primo polinomi, possiamo procedere con il raccoglimento totale, infatti i termini che lo compongono hanno x^2 come fattore comune

    x^5-x^2 = x^2(x^3-1) =

    Tra le parentesi tonde compare la differenza dei cubi di x e 1 che, scomposta, consente di esprimere il polinomio nella forma:

    = x^2(x-1)(x^2+x+1)

    Il primo polinomio è completamente fattorizzato, giacché x^2+x+1 è un falso quadrato irriducibile.

    La scomposizione del secondo polinomio è pressoché immediata: basta, infatti, raccogliere il fattore comune x.

    x^3+x^2+x = x(x^2+x+1)

    Per quanto concerne la fattorizzazione del polinomio

    (x^2+x)^2-1 =

    bisogna avere occhio clinico e notare che esso è la differenza dei quadrati di (x^2+x) e 1, pertanto può essere scomposto come segue:

    = [(x^2+x)+1][(x^2+x)-1] = (x^2+x+1)(x^2+x-1)

    Ricapitolando le scomposizioni sono:

    • x^5-x^2 = x^2(x-1)(x^2+x+1) ; • x^3+x^2+x = x(x^2+x+1) ; • (x^2+x)^2-1 = (x^2+x+1)(x^2+x-1)

    Il loro minimo comune multiplo è il polinomio che si ottiene moltiplicando i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente con cui compaiono, dunque:

    mcm = x^2(x-1)(x^2+x+1)(x^2+x-1)

    Il loro massimo comune divisore è invece il polinomio che si ottiene moltiplicando i fattori comuni presi con il più piccolo esponente, vale a dire:

    MCD = x^2+x+1

    L'esercizio è concluso.

    Risposta di Ifrit
 
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