Soluzioni
  • U'L e U"yo sono intorni 

    Risposta di povi
  • Ciao Povi, con qualche ulteriore precisazione possiamo risolvere agilmente.

    Che ipotesi abbiamo sulla funzione f?

    Con DX intendi il dominio di f Dom(f)?

    Risposta di Omega
  • Cosa intendi per ipotesi sulla funzione? 

    Con DX intendo che xo è un punto di accumlazione

    Risposta di povi
  • Ok, con DX intendi quindi l'insieme derivato di X, cioè l'insieme dei punti di accumulazione.

    Per ipotesi intendo le ipotesi di partenza che hai sulla f. 

    Facciamo così: scrivi l'enunciato per bene e ti do la dimostrazione più semplice possibile.

    Le dimostrazioni di un teorema non sono univoche, e a volte riempire le parti mancanti di una dimostrazione di qualcun altro è un'impresa al limite dell'impossibile.

    Anche le notazioni non sono univoche!

    Dammi un enunciato preciso, non omettere niente, e avrai subito una dimostrazione dettagliata.

    Risposta di Omega
  • Il problema è che ho scritto tutto quello che avevo al riguardo

    Risposta di povi
  • Ok, noi dobbiamo dimostrare il seguente teorema:

    "Data una funzione

    f:X\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

    sia x_{0}\in\partial X un punto di accumulazione di X.

    Se per ogni I(x_{0},\varepsilon) esiste un punto x'\inI(x_{0},\varepsilon) tale che f(x')=y_{0}, con y_{0} un certo valore reale, allora si verifica uno dei due seguenti casi:

    1) la funzione non è regolare in x_{0}

    2) \lim_{x\to x_{0}}{f(x)}=y_{0}."

     

    Dimostrazione: 

    supponiamo per assurdo che la tesi non sia verificata: non valgono né 1) nè 2), quindi l'unica possibilità è che

    \lim_{x\to x_{0}}{f(x)}=L\neq y_{0}

    per definizione di limite:

    \forall\varepsilon>0\mbox{ }\exists\delta>0\mbox{ tale che se }|x-x_{0}|\leq\delta\mbox{ allora }|f(x)-L|\leq\varepsilon

    OSSIA

    per ogni intorno I(L,\varepsilon) c'è un intorno I(x_{0},\delta) tale che se x appartiene a tale intorno risulta che f(x) dista da L meno di ε.

    D'altra parte nella nostra ipotesi per ogni intorno di x0 c'è un valore x' per cui f(x')=y0.

    Quindi per lo specifico intorno I(x_{0},\delta) abbiamo che

    x'\in I(x_{0},\delta) e f(x')\in I(L,\varepsilon), cioè y0=f(x') sta nell'intorno di y0 di raggio ε.

    Ergo, per l'arbitrarietà di ε, possiamo prendere ε piccolo quanto ci pare. Quindi nella nostra ipotesi segue che L=y0. Ecco l'assurdo

    Risposta di Omega
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