Dimostrazione di una osservazione sul limite: teorema
Salve a tutti. Dovrei dimostrare per assurdo questa osservazione.
Considerando f:X-->R xo appartenente DX e X sottoinsieme di R.
Se in ogni intorno di Xo cade almeno un punto x' che appartiene a X : f(x')=yo appartenente ad R, allora si possono verificare due casi:
1) la funzione non è regolare in xo .
oppure
2)lim f(x)=yo
x→xo
Ora supponiamo che la funzione sia regolare ,quindi:
lim f(x)=L=yo
x→xo
Ora ho copiato una mezza dimostrazione per assurdo ma che non ho capito e credo di averla copiata male.
Per assurdo L è diverso da yo
Considerando : U'L intersecato U''yo = insieme vuoto
esiste un Ixo : per ogni x appartenente Ixo intersecato x-(xo) f(x) sia sottoinsieme di U'L
ed
Esiste un x' appartenente (non ho capito a cosa) tale che f(x') sia sottinsieme di
U'L. E quindi si arriverebbe ad un assurdo. però non ho capito perchè. Qualcuno può aiutarmi??? Grazie mille.
U'L e U"yo sono intorni
Risposta di povi
Ciao Povi, con qualche ulteriore precisazione possiamo risolvere agilmente.
Che ipotesi abbiamo sulla funzione f?
Con DX intendi il dominio di f Dom(f)?
Risposta di Omega
Cosa intendi per ipotesi sulla funzione?
Con DX intendo che xo è un punto di accumlazione
Risposta di povi
Ok, con DX intendi quindi l'insieme derivato di X, cioè l'insieme dei punti di accumulazione.
Per ipotesi intendo le ipotesi di partenza che hai sulla f.
Facciamo così: scrivi l'enunciato per bene e ti do la dimostrazione più semplice possibile.
Le dimostrazioni di un teorema non sono univoche, e a volte riempire le parti mancanti di una dimostrazione di qualcun altro è un'impresa al limite dell'impossibile.
Anche le notazioni non sono univoche!
Dammi un enunciato preciso, non omettere niente, e avrai subito una dimostrazione dettagliata.
Risposta di Omega
Il problema è che ho scritto tutto quello che avevo al riguardo
Risposta di povi
Ok, noi dobbiamo dimostrare il seguente teorema:
"Data una funzione
sia 
un punto di accumulazione di 
.
Se per ogni 
esiste un punto 
tale che 
, con 
un certo valore reale, allora si verifica uno dei due seguenti casi:
1) la funzione non è regolare in 
2) 
."
Dimostrazione:
supponiamo per assurdo che la tesi non sia verificata: non valgono né 1) nè 2), quindi l'unica possibilità è che
per definizione di limite:
OSSIA
per ogni intorno 
c'è un intorno 
tale che se x appartiene a tale intorno risulta che f(x) dista da L meno di ε.
D'altra parte nella nostra ipotesi per ogni intorno di x0 c'è un valore x' per cui f(x')=y0.
Quindi per lo specifico intorno abbiamo che
e 
, cioè y0=f(x') sta nell'intorno di y0 di raggio ε.
Ergo, per l'arbitrarietà di ε, possiamo prendere ε piccolo quanto ci pare. Quindi nella nostra ipotesi segue che L=y0. Ecco l'assurdo
Risposta di Omega