Soluzioni
  • Ciao Anna, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Disegna la figura e segui il ragionamento: dobbiamo mostrare che il quadrilatero PQRS è un quadrato, ovvero che ha quattro lati congruenti tra loro e quattro angoli congruenti tra loro (90°).

    Dato che i triangoli ABP,BQC,CRD,DSA sono triangoli equilateri e poggiano sui lati del quadrato, sappiamo automaticamente che tutti i lati che li compongono hanno una misura pari alla misura della lunghezza del lato.

    Consideriamo una coppia di triangoli consecutivi tra i quattro triangoli CQR,SDR,SAP,PBQ: tutti questi triangoli sono triangoli isosceli quindi hanno angoli alla base congruenti.

    Ora consideriamo l'angolo giro nel vertice C, che viene suddiviso in quattro angoli:

    BCD,QCR,BCQ,DCR

    Tra questi, conosciamo le ampiezze di

    BCD=90^{o}

    QCR=?

    BCQ=60^{o}

    DCR=60^{o}

    Possiamo calcolaare RCQ per differenza

    RCQ=360^{o}-90^{o}-60^{o}-60^{o}=150^{o}

    La somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180^{o}, quindi se consideriamo il triangolo RCQ e se teniamo conto del fatto che è isoscele

    CRQ=CQR

    quindi

    2CQR+RCQ=180^{o}

    CQR=\frac{180^{o}-150^{o}}{2}=15^{o}

    quindi

    CRQ=15^{o}

    Con lo stesso ragionamento sul triangolo SDR troviamo

    SRD=15^{o}

    e - sorpresa! - se consideriamo l'angolo DRQ abbiamo che

    DRQ=SRD+DRC+CRQ=15^{o}+60^{o}+15^{o}=90^{o}

    Con gli angoli in S,P,Q vale esattamente lo stesso ragionamento. Quindi

    SRQ=RQP=QPS=PSQ=90^{o}

    che i lati RQ=PQ=SP=SR coincidono, invece, lo si deduce applicando il primo criterio di congruenza tra i triangoli CQR,SDR,SAP,PBQ

    Namasté!

    Risposta di Omega
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