Risolvere equazione esponenziale con basi diverse

Buongiorno a tutti, come si risolve la seguente equazione esponenziale? Non so come comportarmi dato che nell'equazione compaiono basi diverse...Eccola

 

2^2x-5^x-4^(x-1)+25^(x/2-1)=0.

In Superiori - Algebra - Domanda di Luigi2110

Soluzioni

  • Abbiamo l'equazione esponenziale:

    2^{2x}-5^x-4^{x-1}+25^{\frac{x}{2}-1}=0

    Abbiamo che:

    4^{x-1}= 2^{2(x-1)}= 2^{2x-2}

    mentre

    25^{\frac{x}{2}-1}= 5^{2\left(\frac{x}{2}-1\right)}= 5^{x-2}

    Grazie a ciò l'equazione si riscrive come:

    2^{2x}-5^x-2^{2x-2}+5^{x-2}=0

    Per le proprietà delle potenze abbiamo che:

    2^{2x}-5^x-\frac{2^{2x}}{2^2}+\frac{5^x}{5^2}=0

    Da cui

    2^{2x}-5^x-\frac{2^{2x}}{4}+\frac{5^x}{25}=0

    Sommiamo i termini "simili"

    \frac{3}{4}\cdot 2^{2x}-\frac{24}{25} \cdot 5^x=0

    A questo piunto portiamo al secondo membro:

    \frac{3}{4}\cdot 2^{2x}=\frac{24}{25} \cdot 5^x

    Dividiamo membro a membro per 5^x

    Otterremo:

    \frac{3}{4}\frac{2^{2x}}{5^x}= \frac{24}{25}

    isoliamo il fattore:

    \frac{2^{2x}}{5^x}

    dividendo membro a membro per 3/4

    \frac{2^{2x}}{5^x}= \frac{24}{25}\cdot \frac{4}{3}

    Scriviamo 2^{2x}= 4^x

    Quindi:

    \frac{4^x}{5^x}= \frac{24}{25}\cdot \frac{4}{3}

    Per le proprietà delle potenze:

    \left(\frac{4}{5}\right)^x= \frac{32}{25}

    Possiamo concludere che:

    x= \log_{\frac{4}{5}}\left(\frac{32}{25}\right)

    Risposta di Ifrit

  • grazie problema risolto:)

     

    Risposta di Luigi2110
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