Risolvere equazione esponenziale con basi diverse
Mi è capitata un'equazione esponenziale che non so come risolvere per via della sua struttura: nell'equazione compaiono infatti basi differenti. Sicuramente dovrò usare le proprietà delle potenze, ma quali?
Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione esponenziale
Grazie.
Per poter calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione esponenziale
bisogna avvalersi delle opportune proprietà delle potenze così da ricondurla a un'equazione elementare. In particolare, grazie alla regola sulla potenza di una potenza, in combinazione con la regola sul quoziente, siamo in grado di esprimere e
come potenze di 2 e 5 rispettivamente, infatti:
Possiamo quindi riscrivere l'equazione nella forma
A questo punto sommiamo tra loro i coefficienti delle potenze che hanno la stessa base e lo stesso esponente
e isoliamo la potenza in base 2 al primo membro
Dividiamo i due membri per (è un passaggio lecito giacché le funzioni esponenziali sono certamente diversi da zero)
scriviamo come
e sfruttiamo la proprietà sul quoziente di due potenze con lo stesso esponente
Purtroppo non è esprimibile in maniera elementare come potenza di
, ecco perché applichiamo il logaritmo in base
ai due membri
Questo valore rappresenta la soluzione dell'equazione iniziale. Sebbene l'esercizio può essere considerato concluso, può essere utile usare la formula del cambiamento di base per poter esprimere la soluzione in termini logaritmi in base 10 (oppure in base ). In questo modo possiamo utilizzare le calcolatrici e ricavare un'approssimazione della soluzione.
Nel caso volessimo esprimere il risultato in termini di logaritmi in base 10, basta svolgere i seguenti passaggi:
Abbiamo finito.
Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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