Soluzioni
  • Per poter calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione esponenziale

    2^{2x}-5^{x}-4^{x-1}+25^{\frac{x}{2}-1}=0

    bisogna avvalersi delle opportune proprietà delle potenze così da ricondurla a un'equazione elementare. In particolare, grazie alla regola sulla potenza di una potenza, in combinazione con la regola sul quoziente, siamo in grado di esprimere 4^{x-1} e 25^{\frac{x}{2}-1} come potenze di 2 e 5 rispettivamente, infatti:

    \\ 4^{x-1}=\frac{4^x}{4}=\frac{1}{4}\cdot 2^{2x} \\ \\ \\ 25^{\frac{x}{2}-1}=\frac{25^{\frac{x}{2}}}{25}=\frac{1}{25}\cdot 5^{2\cdot \frac{x}{2}}=\frac{1}{25}\cdot 5^{x}

    Possiamo quindi riscrivere l'equazione nella forma

    2^{2x}-5^{x}-\frac{1}{4}\cdot 2^{2x}+\frac{1}{25}\cdot 5^{x}=0

    A questo punto sommiamo tra loro i coefficienti delle potenze che hanno la stessa base e lo stesso esponente

    \\ \left(1-\frac{1}{4}\right)2^{2x}+\left(-1+\frac{1}{25}\right)5^{x}=0 \\ \\ \\ \frac{3}{4}\cdot 2^{2x}-\frac{24}{25}\cdot 5^{x}=0

    e isoliamo la potenza in base 2 al primo membro

    \\ \frac{3}{4}\cdot 2^{2x}=\frac{24}{25}\cdot 5^{x} \\ \\ \\ 2^{2x}=\frac{4}{3}\cdot\frac{24}{25}\cdot 5^{x}\\ \\ \\ 2^{2x}=\frac{32}{25}\cdot 5^{x}

    Dividiamo i due membri per 5^{x} (è un passaggio lecito giacché le funzioni esponenziali sono certamente diversi da zero)

    \frac{2^{2x}}{5^{x}}=\frac{32}{25}

    scriviamo 2^{2x} come 4^{x}

    \frac{4^{x}}{5^{x}}=\frac{32}{25}

    e sfruttiamo la proprietà sul quoziente di due potenze con lo stesso esponente

    \left(\frac{4}{5}\right)^{x}=\frac{32}{25}

    Purtroppo \frac{32}{25} non è esprimibile in maniera elementare come potenza di \frac{4}{5}, ecco perché applichiamo il logaritmo in base \frac{4}{5} ai due membri

    x=\log_{\frac{4}{5}}\left(\frac{32}{25}\right)

    Questo valore rappresenta la soluzione dell'equazione iniziale. Sebbene l'esercizio può essere considerato concluso, può essere utile usare la formula del cambiamento di base per poter esprimere la soluzione in termini logaritmi in base 10 (oppure in base e). In questo modo possiamo utilizzare le calcolatrici e ricavare un'approssimazione della soluzione.

    Nel caso volessimo esprimere il risultato in termini di logaritmi in base 10, basta svolgere i seguenti passaggi:

    \\ x=\frac{\mbox{Log}\left(\frac{32}{25}\right)}{\mbox{Log}\left(\frac{4}{5}\right)}= \frac{\mbox{Log}(32)-\mbox{Log}(25)}{\mbox{Log}(4)-\mbox{Log}(5)}=\\ \\ \\ =\frac{\mbox{Log}(2^5)-\mbox{Log}(5^2)}{\mbox{Log}(2^2)-\mbox{Log}(5)} =\\ \\ \\ = \frac{5\mbox{Log}(2)-2\mbox{Log}(5)}{2\mbox{Log}(2)-\mbox{Log}(5)}

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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