Soluzioni
  • Ok, iniziamo:

    g(x)=\begin{cases}\frac{|\ln(x+2)|}{x+2}&\mbox{ se }x\textgreater -2\\ 1&\mbox{ se }x\le -2 \end{cases}

    Osserviamo innanzitutto che la funzione è definita per casi, in particolare abbiamo che:

    \frac{|\ln(x+2)|}{x+2}\quad x\in (-2, +\infty)

    Questa è una funzione continua in (-2, +∞) perché composizione di funzioni continue. 

    Abbiamo ora il valore assoluto, utilizzando la definizione possiamo scrivere la funzione in modo diverso. Studiamo il segno dell'argomento del valore assoluto:

    \ln(x+2)\ge 0\iff x+2\ge 1\iff x\ge 1-2\iff x\ge -1

    quindi:

    |\ln(x+2)|=\begin{cases}\ln(x+2)&\mbox{ se }x\ge -1\\ -\ln(x+2)&\mbox{ se }x\in(-2, -1)\end{cases}

    La funzione g(x) è:

    g(x)=\begin{cases}\frac{\ln(x+2)}{x+2}&\mbox{ se } x\ge -1\\ -\frac{\ln(x+2)}{x+2}&\mbox{ se } x\in(-2, -1)\\ 1&\mbox{ se }x\le -2\end{cases}

    Abbiamo detto che è una funzione continua per ogni x diverso da -2, che è anche detto punto di raccordo:

    Verifichiamo la continuità in tale punto:

    La funzione è continua in -2 se e solo se il limite destro e il limite sinistro sono finiti e uguali:

    \lim_{x\to -2^-}g(x)= \lim_{x\to -2^{-}} 1= 1 

    \lim_{x\to -2^+}g(x)= \lim_{x\to -2^-}\frac{|\ln(x+2)|}{x+2}=

    \lim_{x\to -2^+}-\frac{\ln(x+2)}{x+2}=[-\infty/\infty]

    A questo punto utilizziamo il teorema di de L'hopital:

    \lim_{x\to -2^+}-\frac{1}{x+2}=+\infty

    La funzione presenta in -2 una discontinuità.

     

    Per quanto riguarda la derivabilità abbiamo che:

    • Per x\le -2 la funzione g(x)=1 quindi è derivabile perché funzione costante.

    • Per x\in(-2, -1) la funzione è 

    g(x)= -\frac{\ln(x+2)}{x+2}

    che è una funzione derivabile perché composizione di funzioni derivabili.

    • Per x\textgreater -1 la funzione è 

    g(x)= \frac{\ln(x+2)}{x+2}

    la funzione è derivabile perché composizione di funzioni derivabili.

    I possibili punti di non derivabilità sono:

    x= -2

    x=-1.

    In x=-2 la funzione non è derivabile perché la funzione non è continua.

    Dobbiamo controllare la derivabilità in -1, per farlo dobbiamo valutare il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale centrato in -1:

    \lim_{h\to 0^+}\frac{g(-1+h)-g(-1)}{h}= \lim_{h\to 0^+}\frac{\frac{\ln(h+1)}{h+1}}{h}= 1

    mentre:

    \lim_{h\to 0^-}\frac{g(-1+h)-g(-1)}{h}= \lim_{h\to 0^-}\frac{-\frac{\ln(h+1)}{h+1}}{h}=-1

    Poiché il limite destro e il limite sinistro non coincidono allora la funzione non è derivabile in -1, che è dunque un punto di non derivabilità per la funzione.

    Risposta di Ifrit
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