Classificare i punti di discontinuità e di non derivabilità

Ok, iniziamo:

Osserviamo innanzitutto che la funzione è definita per casi, in particolare abbiamo che:

Questa è una funzione continua in (-2, +∞) perché composizione di funzioni continue. 

Abbiamo ora il valore assoluto, utilizzando la definizione possiamo scrivere la funzione in modo diverso. Studiamo il segno dell'argomento del valore assoluto:

quindi:

La funzione g(x) è:

Abbiamo detto che è una funzione continua per ogni x diverso da -2, che è anche detto punto di raccordo:

Verifichiamo la continuità in tale punto:

La funzione è continua in -2 se e solo se il limite destro e il limite sinistro sono finiti e uguali:

A questo punto utilizziamo il teorema di de L'hopital:

La funzione presenta in -2 una discontinuità.

Per quanto riguarda la derivabilità abbiamo che:

• Per la funzione g(x)=1 quindi è derivabile perché funzione costante.

• Per la funzione è 

che è una funzione derivabile perché composizione di funzioni derivabili.

• Per la funzione è 

la funzione è derivabile perché composizione di funzioni derivabili.

I possibili punti di non derivabilità sono:

.

In x=-2 la funzione non è derivabile perché la funzione non è continua.

Dobbiamo controllare la derivabilità in -1, per farlo dobbiamo valutare il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale centrato in -1:

mentre:

Poiché il limite destro e il limite sinistro non coincidono allora la funzione non è derivabile in -1, che è dunque un punto di non derivabilità per la funzione.