Equazione esponenziale fratta con basi 3 e 5

Ciao, come si risolve questa equazione esponenziale fratta? Ci sono diverse frazioni con termini esponenziali 3 e 5, e non so come procedere...

[3^(4x-1)/5^(x-1)]-[5^(3x)/5^(x-1)]-[5^(1-x)/5^(1-2x)] +5=0

Grazie!

Domanda di Luigi2110
Soluzioni

Ciao Luigi, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega

L'equazione esponenziale

(3^(4x-1))/(5^(x-1))-(5^(3x))/(5^(x-1))-(5^(1-x))/(5^(1-2x))+5 = 0

si può riscrivere, grazie alle proprietà delle potenze, nella forma

(3^(4x-1))/(5^(x-1))-(5^(3x))/(5^(x-1))-(5^(-(1-2x)))/(5^(-(1-x)))+5 = 0

cioè

(3^(4x-1))/(5^(x-1))-(5^(3x))/(5^(x-1))-(5^(2x-1))/(5^(x-1))+5 = 0

Calcoliamo il denominatore comune, ed eliminiamolo (essendo sempre positivo, non dobbiamo imporre alcuna C.E.)

3^(4x-1)-5^(3x)-5^(2x-1)+5·5^(x-1) = 0

3^(4x-1)-5^(3x)-5^(2x-1)+5^(x) = 0

Portiamo 3^(4x-1) a destra dell'uguale

-5^(3x)-5^(2x-1)+5^(x) = -3^(4x-1)

moltiplichiamo tutto per -1

+5^(3x)+5^(2x-1)-5^(x) = +3^(4x-1)

Ora possiamo pure proseguire, però quella base 3 mi fa molto strano: sicuro che non sia 5 ?

Namasté!

Risposta di Omega

si si scusami me ne sono accorto ora la base è 5

Risposta di Luigi2110

Lo immaginavo...Laughing

In tal caso tutto il procedimento è praticamente uguale: i passaggi sono gli stessi, puoi sostituire direttamente 3 con 5)

-5^(4x-1)+5^(3x)+5^(2x-1)-5^(x) = 0

Riscriviamo il tutto come

-(1)/(5)5^(4x)+5^(3x)+(1)/(5)5^(2x)-5^(x) = 0

Poniamo y = 5^(x), per cui l'equazione diventa

-(1)/(5)y^4+y^3+(1)/(5)y^2-y = 0

o equivalentemente

-y^4+5y^3+y^2-5y = 0

Raccogliamo una y

y(-y^3+5y^2+y-5) = 0

e procediamo con il metodo del raccoglimento parziale:

y[-y^2(y-5)+(y-5)] = 0

y[(-y^2+1)(y-5)] = 0

y[(1-y)(1+y)(y-5)] = 0

Questa equazione ha come soluzioni

y = 0; y = 1;y = -1;y = 5

Effettuando la sostituzione al contrario, abbiamo

5^x = 0; 5^x = 1;5^x = -1;5^x = 5

la prima e la terza uguaglianza non forniscono soluzioni, perché l'esponenziale 5^(x) è sempre positiva: abbiamo solamente

5^x = 1 → x = 0

5^x = 5 → x = 1

Namasté!

Risposta di Omega

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