Soluzioni
  • Ciao Luigi, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • L'equazione esponenziale

    \frac{3^{4x-1}}{5^{x-1}}-\frac{5^{3x}}{5^{x-1}}-\frac{5^{1-x}}{5^{1-2x}}+5=0

    si può riscrivere, grazie alle proprietà delle potenze, nella forma

    \frac{3^{4x-1}}{5^{x-1}}-\frac{5^{3x}}{5^{x-1}}-\frac{5^{-(1-2x)}}{5^{-(1-x)}}+5=0

    cioè

    \frac{3^{4x-1}}{5^{x-1}}-\frac{5^{3x}}{5^{x-1}}-\frac{5^{2x-1}}{5^{x-1}}+5=0

    Calcoliamo il denominatore comune, ed eliminiamolo (essendo sempre positivo, non dobbiamo imporre alcuna C.E.)

    3^{4x-1}-5^{3x}-5^{2x-1}+5\cdot 5^{x-1}=0

    3^{4x-1}-5^{3x}-5^{2x-1}+5^{x}=0

    Portiamo 3^{4x-1} a destra dell'uguale

    -5^{3x}-5^{2x-1}+5^{x}=-3^{4x-1}

    moltiplichiamo tutto per -1

    +5^{3x}+5^{2x-1}-5^{x}=+3^{4x-1}

    Ora possiamo pure proseguire, però quella base 3 mi fa molto strano: sicuro che non sia 5 ?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • si si scusami me ne sono accorto ora la base è 5

     

    Risposta di Luigi2110
  • Lo immaginavo...Laughing

    In tal caso tutto il procedimento è praticamente uguale: i passaggi sono gli stessi, puoi sostituire direttamente 3 con 5)

    -5^{4x-1}+5^{3x}+5^{2x-1}-5^{x}=0

    Riscriviamo il tutto come

    -\frac{1}{5}5^{4x}+5^{3x}+\frac{1}{5}5^{2x}-5^{x}=0

    Poniamo y=5^{x}, per cui l'equazione diventa

    -\frac{1}{5}y^4+y^3+\frac{1}{5}y^2-y=0

    o equivalentemente

    -y^4+5y^3+y^2-5y=0

    Raccogliamo una y

    y(-y^3+5y^2+y-5)=0

    e procediamo con il metodo del raccoglimento parziale:

    y[-y^2(y-5)+(y-5)]=0

    y[(-y^2+1)(y-5)]=0

    y[(1-y)(1+y)(y-5)]=0

    Questa equazione ha come soluzioni

    y=0; y=1;y=-1;y=5

    Effettuando la sostituzione al contrario, abbiamo

    5^x=0; 5^x=1;5^x=-1;5^x=5

    la prima e la terza uguaglianza non forniscono soluzioni, perché l'esponenziale 5^{x} è sempre positiva: abbiamo solamente

    5^x=1\to x=0

    5^x=5\to x=1

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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