Soluzioni
  • Consideriamo il limite destro

    \lim_{x\to0^{+}}\frac{(1+2x)^{\frac{1}{2}}-(1+\sin(2x))^{\frac{1}{2}}}{2x^3}

    Esso manifesta una forma indeterminata del tipo \left[\frac{0}{0}\right] che possiamo risolvere mediante gli sviluppi di Taylor McLaurin. In particolare è necessario ricordare lo sviluppo notevole di McLaurin associato alla potenza di binomio

    (1+t)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{t}{2}-\frac{t^2}{8}+\frac{t^3}{16}+o(t^3)

    dal quale discende lo sviluppo del termine (1+2x)^{\frac{1}{2}}

    \\ (1+2x)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{2x}{2}-\frac{4x^2}{8}+\frac{8x^3}{16}+o(8x^3)= \\ \\ \\=1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{2}+o(x^3)

    Nota: oltre ad aver applicato le proprietà delle potenze, abbiamo utilizzato le proprietà degli o-piccolo, le quali giustificano l'uguaglianza o(8x^3)=o(x^3).

    Inoltre rimpiazzando ad ogni occorrenza di t il termine \sin(2x) otteniamo lo sviluppo del termine (1+\sin(x))^{\frac{1}{2}}

    (1+\sin(x))^{\frac{1}{2}}=1+\frac{\sin(x)}{2}-\frac{\sin^2(2x)}{8}+\frac{\sin^3(x)}{16}+o(\sin^3(x))

    Attenzione, quello scritto non è ancora lo sviluppo di Taylor richiesto.

    Grazie allo sviluppo notevole della funzione seno

    \sin(t)=t-\frac{t^3}{6}+o(t^3)

    determiniamo lo sviluppo associato alla funzione y=\sin(2x), rimpiazzando ad ogni occorrenza di t il termine 2x. In accordo con le proprietà degli o-piccolo otteniamo

    \sin(2x)=2x-\frac{4}{3}x^3+o(x^3)

    Sostituiamo l'espansione nello sviluppo di (1+\sin(2x))^{\frac{1}{2}} così da ottenere

    (1+\sin(2x))^{\frac{1}{2}}=1+\frac{2x-\frac{4}{3}x^3+o(x^3)}{2}-\frac{\left(2x-\frac{4}{3}x^3+o(x^3)\right)^3}{8}+

    +\frac{\left(2x-\frac{4}{3}x^3+o(x^3)\right)^3}{16}+o\left(\left(2x-\frac{4}{3}x^3+o(x^3)\right)^3\right)

    Occupiamoci un momento dell'o-piccolo e utilizziamone le proprietà per comprendere come semplificarlo.

    Per prima cosa sviluppiamo il cubo

    \left(2x-\frac{4}{3}x^3+o(x^3)\right)^3=8x^3-16 x^5+\frac{32x^7}{3}-\frac{64x^9}{27}+

    +12x^2 o(x^3)-16 x^4 o(x^3)+\frac{16x^6o(x^3)}{3}+6x(o(x^3))^2-4x^3(o(x^3))^2+(o(x^3))^3=

    In accordo con le proprietà degli o-piccolo, l'espressione diventa

    =8x^3-16x^5+\frac{32x^7}{3}-\frac{64x^9}{27}+

    +o(x^5)+o(x^7)+o(x^9)+o(x^7)+o(x^9)+o(x^9)=

    Eseguiamo la somma tra gli o-piccolo ricordando che

    o(x^n)+o(x^m)=o(x^{\min(n,m)})

    così che l'espressione diventi

    \\ =8x^3-16x^5+\frac{32x^7}{3}-\frac{64x^9}{27}+o(x^5)= \\ \\ \\ =8x^3-16x^5+o(x^5)

    Poiché sussiste la relazione asintotica

    8x^3-15x^5+o(x^5)\sim_{x\to0}8x^3

    allora valgono le identità

    o\left(\left(2x-\frac{4}{3}x^3+o(x^3)\right)^3\right)=o\left(8x^3-15x^5+o(x^5)\right)=o(x^3)

    Ora possiamo sviluppare correttamente il termine (1+\sin(2x))^{\frac{1}{2}} stando particolarmente attenti al fatto che tutte le potenze di ordine superiore a 3 vanno trascurate

    (1+\sin(2x))^{\frac{1}{2}}=1+x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+o(x^3)

    Con tale sviluppo possiamo costruire quello associato al numeratore

    (1+2x)^{\frac{1}{2}}-(1+\sin(2x))^{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}x^3+o(x^3)

    quindi il limite diventa

    \lim_{x\to0}\frac{(1+2x)^{\frac{1}{2}}-(1+\sin(2x))^{\frac{1}{2}}}{2x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{2}{3}x^3}{2x^3}=\frac{1}{3}

    Abbiamo terminato.

    Per approfondire leggi la guida sui limiti con Taylor.

    Risposta di Ifrit
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