Soluzioni
  • Calcoleremo il limite

    \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(3x)}{x^2}

    applicando il limite notevole del coseno

    \lim_{t\to 0}\frac{1-\cos(t)}{t^2}=\frac{1}{2}

    Partiamo dal limite iniziale

    \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(3x)}{x^2}=

    e moltiplichiamo e dividiamo per 9 così che al denominatore compaia esattamente il quadrato dell'argomento della funzione coseno

    =\lim_{x\to 0}\frac{9(1-\cos(3x))}{9x^2}=9\cdot\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(3x)}{(3x)^2}=

    Risolviamo il limite per sostituzione: poniamo 3x=t ed osserviamo che quando x\to 0 anche la variabile t\to 0. Grazie alla sostituzione, il limite si riscrive come il prodotto di 9 per il limite notevole ossia

    =9\cdot\lim_{t\to 0}\frac{1-\cos(t)}{t^2}=9\cdot\frac{1}{2}=\frac{9}{2}

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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