Soluzioni
  • Ciao tury46 :)

    Rappresentiamo graficamente la situazione, ovvero disegniamo un prisma regolare quadrangolare sormontato da una piramide retta

     

    Problema con solidi sovrapposti

     

    Riportiamoci ora i dati forniti dal problema. Conosciamo la misura dell'altezza del solido

    VK=96 \ \mbox{dm},

    l'area laterale del prisma

    S_{lat \ prisma}=13824 \ \mbox{dm}^2,

    il peso specifico dell'intero solido

    Ps=0,5 \ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{dm}^3}

    e sappiamo che l'altezza LK del prisma è 2/3 del lato di base, ovvero

    LK=\frac{2}{3}\cdot AB.

    Con queste informazioni dobbiamo ricavare l'area della Superficie totale del solido ed il suo peso.

    Iniziamo!

    Poiché abbiamo a che fare con un prisma regolare quadrangolare (click per le formule) del quale conosciamo l'area della superficie laterale, ricordando che essa è data da:

    S_{lat \ prisma}=4 AB \cdot LK

    abbiamo che

    4 AB \cdot LK = 13824

    AB \cdot LK = \frac{13824}{4}=3456

    Inoltre sappiamo che

    LK=\frac{2}{3}\cdot AB

    ed andando a sostituire questa relazione nella prima vien fuori

    AB \cdot \underbrace{\frac{2}{3} \cdot AB}_{LK} =3456

    \frac{2}{3}AB^2=3456

    AB^2=\frac{3}{2}\cdot 3456 = 5184

    estraendo la radice quadrata di ha

    AB=72 \ \mbox{dm}

    e quindi

    LK=\frac{2}{3}AB = 48 \ \mbox{dm}.

    Ora, conoscendo il lato AB possiamo trovare l'area di base (che è un quadrato)

    S_{base \ prisma}=S_{base \ piramide} = AB^2 = 72^2 = 5184 \ \mbox{dm}^2

    e nota l'altezza del prisma (LK=48 dm), sapendo che VK=96 dm possiamo trovare l'altezza della piramide

    VL=VK-LK=96-48=48 \ \mbox{dm}

    Nota ora sia l'altezza che il lato di base della piramide (click per le formule) possiamo trovare l'apotema sfruttando il teorema di Pitagora 

    VM=\sqrt{VL^2+LM^2}=\sqrt{48^2 + 36^2}=

    (in quanto LM è metà del lato di base)

    =\sqrt{2304+1296}=\sqrt{3600}=60 \ \mbox{dm}

    e di conseguenza l'area della superficie laterale

    S_{lat \ piramide} = \frac{4EF \cdot VM}{2}=\frac{288 \cdot 60}{2} = 8640 \ \mbox{dm}^2

    Possiamo ora trovare l'area della superficie totale del solido che è data dalla somma tra l'area di base del prisma e l'area laterale di piramide e prisma, ovvero:

    S_{tot \ solido}=S_{base \ prisma} + S_{lat \ prisma} + S_{lat \ piramide} =

    =5184 + 13824 + 8640 = 27648 \ \mbox{dm}^2

    ------

    Per trovare il peso del solido ci serve il volume. Sfruttando le formule per il volume abbiamo

    V_{piramide}=\frac{S_{base} \cdot VL}{3}=\frac{5184 \cdot 48}{3} = 82944 \ \mbox{dm}^3

    V_{prisma}=S_{base} \cdot LK=5184 \cdot 48 = 248832 \ \mbox{dm}^3

    Il volume del solido è data dalla somma dei due volumi, ovvero

    V_{solido}=82944+248832 = 331776 \ \mbox{dm}^3

    Infine grazie al peso specifico abbiamo che

    \mbox{Peso solido}=V \cdot Ps = 331776 \ \mbox{dm^3} \cdot 0,5 \ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{dm}^3}= 165888 \ \mbox{kg}

    Risposta di Omega
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