Formule di bisezione per verificare un'identità goniometrica

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Ciao potreste aiutarmi con le formule di bisezione? Devo verificare la seguente identità geometrica e determinare i valori degli angoli per i quali l'uguaglianza non è valida.

 

(sin(a)/(2))/(1-cos(a))+(cos(a)/(2))/(1+cos(a)) = (sin (a)/(2)+cos (a)/(2))/(sin a)

 

Grazie!

Domanda di JohnnyR

 
Soluzioni

  • Ciao JohnnyR arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Nella verifica dell'identità goniometrica ci serviranno alcune formule trigonometriche...

    (sin(a)/(2))/(1-cos(a))+(cos(a)/(2))/(1+cos(a)) = (sin (a)/(2)+cos (a)/(2))/(sin a)

    Cominciamo con il primo membro:

    (sin(a)/(2))/(1-cos(a))+(cos(a)/(2))/(1+cos(a))

    Moltiplichiamo e dividiamo per due i denominatori:

    (sin(a)/(2))/(2·(1-cos(a))/(2))+(cos(a)/(2))/(2·(1+cos(a))/(2))

    Ora per le formule di bisezione abbiamo che:

    2·(1-cos(a))/(2) = 2·sin^2(a)/(2)

    mentre

    2·(1+cos(a))/(2) = 2·cos^2(a)/(2)

    Sostituendo la quantità

    (sin(a)/(2))/(2·(1-cos(a))/(2))+(cos(a)/(2))/(2·(1+cos(a))/(2))

    diventa:

    (sin(a)/(2))/(2 sin^2(a)/(2))+(cos(a)/(2))/(2cos^2(a)/(2))

    Semplificando in modo opportuno:

    (1)/(2 sin(a)/(2))+(1)/(2cos(a)/(2))

    Minimo comune multiplo:

    (sin(a)/(2)+cos(a)/(2))/(2 sin(a)/(2)cos(a)/(2))

    Per le formule di duplicazione:

    2sin(a)/(2)cos (a)/(2) = sin(2·(a)/(2)) = sin a

    quindi:

    (sin(a)/(2)+cos(a)/(2))/(2 sin(a)/(2)cos(a)/(2)) =

    (sin(a)/(2)+cos(a)/(2))/(sin a)

    L'uguaglianza è verificata :D

    Risposta di Ifrit
 
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