Soluzioni
  • Ciao JohnnyR arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Nella verifica dell'identità goniometrica ci serviranno alcune formule trigonometriche...

    \frac{\sin\frac{a}{2}}{1-\cos(a)}+\frac{\cos\frac{a}{2}}{1+\cos(a)}= \frac{\sin \frac{a}{2}+\cos \frac{a}{2}}{\sin a}

    Cominciamo con il primo membro:

    \frac{\sin\frac{a}{2}}{1-\cos(a)}+\frac{\cos\frac{a}{2}}{1+\cos(a)}

    Moltiplichiamo e dividiamo per due i denominatori:

    \frac{\sin\frac{a}{2}}{2\cdot \frac{1-\cos(a)}{2}}+\frac{\cos\frac{a}{2}}{2\cdot\frac{1+\cos(a)}{2}}

    Ora per le formule di bisezione abbiamo che:

    2\cdot \frac{1-\cos(a)}{2}= 2\cdot \sin^2\frac{a}{2}

    mentre

    2\cdot\frac{1+\cos(a)}{2}=2\cdot \cos^2\frac{a}{2}

    Sostituendo la quantità

    \frac{\sin\frac{a}{2}}{2\cdot \frac{1-\cos(a)}{2}}+\frac{\cos\frac{a}{2}}{2\cdot\frac{1+\cos(a)}{2}}

    diventa:

    \frac{\sin\frac{a}{2}}{2 \sin^2\frac{a}{2}}+\frac{\cos\frac{a}{2}}{2\cos^2\frac{a}{2}}

    Semplificando in modo opportuno:

    \frac{1}{2 \sin\frac{a}{2}}+\frac{1}{2\cos\frac{a}{2}}

    Minimo comune multiplo:

    \frac{\sin\frac{a}{2}+\cos\frac{a}{2}}{2 \sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}}

    Per le formule di duplicazione:

    2\sin\frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}= \sin\left(2\cdot \frac{a}{2}\right)= \sin a

    quindi:

    \frac{\sin\frac{a}{2}+\cos\frac{a}{2}}{2 \sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}}=

    \frac{\sin\frac{a}{2}+\cos\frac{a}{2}}{\sin a}

    L'uguaglianza è verificata :D

    Risposta di Ifrit
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