Semplificare un'espressione con potenze di monomi

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Non riesco a capire dove sbaglio nello svolgimento di un esercizio sulle espressioni con potenze di monomi. So che dovrei applicare le proprietà delle potenze, però il risultato che ottengo non coincide con quello del libro.

 

Semplificare la seguente espressione con le potenze di monomi, avvalendosi delle opportune proprietà delle potenze.

 

\left[\left(-\frac{1}{4}abc\right)(2a^2bc^3)^2\left(-\frac{5}{3}a^2b^3c\right)\right]:\left(\frac{10}{6}a^7b^2c^6\right)

 

Grazie.

Domanda di Berny

 
Soluzioni

  • Il primo passaggio da effettuare per risolvere la seguente espressione

    \left[\left(-\frac{1}{4}abc\right)(2a^2bc^3)^2\left(-\frac{5}{3}a^2b^3c\right)\right]:\left(\frac{10}{6}a^7b^2c^6\right)=

    consiste proprio nello svolgere la potenza del monomio 2a^2bc^3: è sufficiente distribuire l'esponente a ciascun fattore della base, dopodiché semplifichiamo la parte letterale avvalendoci della regola per le potenze di potenze.

    \\ =\left[\left(-\frac{1}{4}abc\right) (2^2\cdot (a^2)^2\cdot b^2\cdot (c^3)^2)\left(-\frac{5}{3}a^2b^3c\right)\right]:\left(\frac{10}{6}a^7b^2c^6\right)= \\ \\ \\ =\left[\left(-\frac{1}{4}abc\right) (4a^{2\cdot 2}b^2c^{3\cdot 2})\left(-\frac{5}{3}a^2b^3c\right)\right]:\left(\frac{10}{6}a^7b^2c^6\right)= \\ \\ \\ =\left[\left(-\frac{1}{4}abc\right) (4a^{4}b^2c^{6})\left(-\frac{5}{3}a^2b^3c\right)\right]:\left(\frac{10}{6}a^7b^2c^6\right)=

    Occupiamoci dei prodotti tra i monomi interni alle parentesi quadre. Moltiplichiamo tra loro i coefficienti e le rispettive parti letterali: sia chiaro che utilizzeremo la proprietà sul prodotto di potenze con la stessa base per determinare gli esponenti delle lettere.

    \\ =\left[\left(-\frac{1}{4}\cdot 4\cdot\left(-\frac{5}{3}\right)\right)a^{1+4+2}b^{1+2+3}c^{1+6+1} \right]:\left(\frac{10}{6}a^7b^2c^6\right)= \\ \\ \\ =\left[\left(-\frac{1}{4}\cdot 4\cdot\left(-\frac{5}{3}\right)\right)a^{7}b^{6}c^{8} \right]:\left(\frac{10}{6}a^7b^2c^6\right)=

    Calcoliamo il prodotto tra le frazioni, non prima di aver semplificato in croce i 4

    \\ =\left[\left(-\frac{1}{1}\cdot 1\cdot\left(-\frac{5}{3}\right)\right)a^{7}b^{6}c^{8} \right]:\left(\frac{10}{6}a^7b^2c^6\right)=\\ \\ \\ =\left[\frac{5}{3}a^{7}b^{6}c^{8} \right]:\left(\frac{10}{6}a^7b^2c^6\right)=

    Non ci resta che determinare il quoziente tra i monomi ottenuti, dividendo tra loro i coefficienti e le parti letterali. Nota: useremo la regola sul quoziente di due potenze per ricavare gli esponenti da attribuire alle lettere

    \\ =\left(\frac{5}{3}:\frac{10}{6}\right)a^{7-7}b^{6-2}c^{8-6}= \\ \\ \\ =\left(\frac{5}{3}:\frac{10}{6}\right)a^{0}b^{4}c^{2}=

    Eseguiamo la divisione tra le frazioni, riscrivendola come prodotto della frazione dividendo per il reciproco della frazione divisore, dopodiché riduciamo ai minimi termini

    \\ =\left(\frac{5}{3}\cdot\frac{6}{10}\right)a^{0}b^{4}c^{2}= \\ \\ \\ =\left(\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{1}\right)a^{0}b^{4}c^{2}=\\ \\ \\ =a^{0}b^{4}c^{2}=b^4c^2

    Si osservi che nell'ultimo passaggio a^{0}=1, per questo tale fattore viene sottinteso.

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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