Soluzioni
  • Ciao Alessandro, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega
  • Quel sistema di tre disequazioni in tre incognite non può essere risolto, possiamo però disaccoppiare le variabili. Non che questo sia di grande aiuto, comunque Wink

    Puoi postare la funzione? Con ogni probabilità, è richiesto di procedere con un po' di malizia algebrica per risolvere l'esercizio..

    Namasté! 

    Risposta di Omega
  • si, la funione è:

    f(x,y,z)=5z^2+y^2-6yz

    DOvrei riuscire a dimostrare che l'insieme è chiuso e limitato per poi applicare il teorema di Weierstrass.

    Il prof nello svolgimento ricava che 1/2<=z<=3,   x^2+y^2<=35 (se t puo essere d'aiuto)

    Risposta di Alessandro
  • Ok: in tal caso che l'insieme sia un chiuso di \mathbb{R}^3 lo si può vedere direttamente dalla definizione di E che viene data in partenza. 

    Io procederei applicando un cambiamento di coordinate, in particolare passando ad un sistema di coordinate cilindriche

    x=\rho\cos{(\theta)}

    y=\rho\sin{(\theta)}

    z=z

    per cui x^2+y^2=\rho^2. In questo modo le condizioni che definiscono l'insieme E diventano, nel nuovo riferimento

    4z^2\geq \rho^2+1

    \rho\cos{(\theta)}>0

    0\leq z\leq 3

    In coordinate cilindriche \rho>0 poiché misura il raggio, quindi la seconda condizione è

    \cos{(\theta)}>0

    cioè

    0\leq \theta\leq \frac{\pi}{2}\vee \frac{3}{2}\pi\leq \theta\leq 2\pi

    La terza condizione ci piace così com'è, mentre per quanto riguarda la prima

    -\sqrt{\rho^2+1}\leq 2z\leq \sqrt{\rho^2+1}

    cioè

    -\frac{1}{2}\sqrt{\rho^2+1}\leq z\leq \frac{1}{2}\sqrt{\rho^2+1}

    La prima e la terza condizione devono valere entrambe, quindi vanno messe a sistema, quindi diventano

    0\leq z\leq min(\frac{1}{2}\sqrt{\rho^2+1},3)

    Si tratta quindi di capire per quali valori di \rho risulta che

    \frac{1}{2}\sqrt{\rho^2+1}\leq 3

    questa disequazione ammette come soluzioni

    -\sqrt{35}\leq \rho\leq \sqrt{35}

    ma dobbiamo prendere \rho>0, quindi

    0\leq \rho\leq \sqrt{35}

    Abbiamo determinato le tre condizioni che definiscono E in coordinate cilindriche, e dalle quali è semplicissimo vedere che E è limitato Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • capito Omega ma il prof come s sara potute calcolare queste due diseguaglianze

     1/2<=z<=3,   x^2+y^2<=35  ? :) vorrei riuscire a capire qst procedimento 

    Risposta di Alessandro
  • Il modo più furbo con cui può averlo fatto è proprio la strada del cambiamento di coordinate, cioè quello che ho intrapreso nella precedente risposta Laughing

    Nella precedente risposta siamo arrivati a

    0\leq z\leq min\left(\frac{1}{2}\sqrt{\rho^2+1},3\right)

    0\leq \theta\leq \frac{\pi}{2}\vee \frac{3}{2}\pi\leq \theta\leq 2\pi

    0\leq \rho\leq \sqrt{35}

    Il che sarebbe già sufficiente per concludere che il dominio considerato è limitato (ciò che ti interessa è poter applicare Weierstrass; la chiusura dell'insieme era data sin dalla partenza).

    Si può (inutilmente Wink) raffinare il precedente sistema di disuguaglianze considerando la prima doppia disuguaglianza basandosi sulla limitazione dei valori di \rho: facendo variare \rho tra 0 e \sqrt{35}, si trova proprio che

    \frac{1}{2}\leq z\leq 3

    (il primo estremo è ottenuto valutando \frac{1}{2}\sqrt{\rho^2+1} in \rho=0, il secondo valutandolo in \sqrt{35}).

    Quindi abbiamo

    \frac{1}{2}\leq z\leq 3

    0\leq \theta\leq \frac{\pi}{2}\vee \frac{3}{2}\pi\leq \theta\leq 2\pi

    0\leq \rho\leq \sqrt{35}

    Se poi si vuole esprimere il tutto (anche questo è inutile, una volta fatto quel che si è fatto) in coordinate cartesiane: 

    \rho=\sqrt{x^2+y^2}

    e si trovano proprio le suddette condizioni.

    L'alternativa è fare un mucchio di conti rimanendo sin dal principio in coordinate cartesiane, il che sarebbe scomodo, diminuirebbe le probabilità di giungere al giusto risultato e aumenterebbe le probabilità di commettere errori :)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Precisissimo Omega! grazie tutto chiaro

    P.S all'inizio hai sbagliato a sostiture poiche y è uguale a (p sen o) e quindi la condizione è psen(o)>=0 e non pcos(o)>=0 ( o sarebbe l'angolo perche non so scrivere fi Laughing)

    Risposta di Alessandro
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