Formule di bisezione per calcolare espressioni con arcocoseno

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Ciao! Potreste aiutarmi con questo esercizio sulle formule di bisezione? Devo valutare due espressioni in cui compare l'arcocoseno. Devo calcolare:

 

sin((1)/(2) arccos((3)/(5))), cos((1)/(2) arccos((3)/(5)))

 

Grazie mille!

Domanda di JohnnyR

 
Soluzioni

  • Iniziamo con il ricordare le formule di bisezione (al quadrato, è più facile):

    sin^2((t)/(2)) = (1-cos(t))/(2)

    cos^2((t)/(2)) = (1+cos(t))/(2)

    A questo punto si ha quindi che:

    sin^2((1)/(2) arccos(3)/(5)) = (1-cos(arccos(3)/(5)))/(2)

    Ricordando la relazione che sussiste tra coseno e arcocoseno:

    cos(arccos(t)) = t t∈ [-1, 1]

    Allora:

    cos(arccos(3)/(5)) = (3)/(5)

    Quindi:

    sin^2((1)/(2) arccos(3)/(5)) = (1-cos(arccos(3)/(5)))/(2) =

    (1-(3)/(5))/(2) = (1)/(5)

    Quindi abbiamo scoperto che:

    sin^2((1)/(2) arccos(3)/(5)) = (1)/(5)

    Quindi

    sin((1)/(2) arccos(3)/(5)) = ±(1)/(√(5))

    In questo caso dovremmo prendere il risultato con il sengno più perché 

    (1)/(2) arccos(3)/(5)∈ (0, π/2)

    e in questo intervallo il seno è positivo.

    Procediamo allo stesso modo per il coseno:

    cos^2((arccos((3)/(5)))/(2)) = (1+cos(arccos((3)/(5))))/(2) = (1+(3)/(5))/(2) =

    = (4)/(5)

    Estraendo la radice quadrata membro a membro otteniamo:

    cos((arccos((3)/(5)))/(2)) = ±√((4)/(5)) = ±(2)/(√(5))

    Anche in questo caso dobbiamo prendere il risultato con il più.

    Se hai domande sono qui :P

    Risposta di Ifrit
 
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