Formule di bisezione per calcolare espressioni con arcocoseno

Ciao! Potreste aiutarmi con questo esercizio sulle formule di bisezione? Devo valutare due espressioni in cui compare l'arcocoseno. Devo calcolare:

sin((1)/(2) arccos((3)/(5))), cos((1)/(2) arccos((3)/(5)))

Grazie mille!

Domanda di JohnnyR
Soluzione

Iniziamo con il ricordare le formule di bisezione (al quadrato, è più facile):

sin^2((t)/(2)) = (1-cos(t))/(2)

cos^2((t)/(2)) = (1+cos(t))/(2)

A questo punto si ha quindi che:

sin^2((1)/(2) arccos(3)/(5)) = (1-cos(arccos(3)/(5)))/(2)

Ricordando la relazione che sussiste tra coseno e arcocoseno:

cos(arccos(t)) = t t∈ [-1, 1]

Allora:

cos(arccos(3)/(5)) = (3)/(5)

Quindi:

sin^2((1)/(2) arccos(3)/(5)) = (1-cos(arccos(3)/(5)))/(2) =

(1-(3)/(5))/(2) = (1)/(5)

Quindi abbiamo scoperto che:

sin^2((1)/(2) arccos(3)/(5)) = (1)/(5)

Quindi

sin((1)/(2) arccos(3)/(5)) = ±(1)/(√(5))

In questo caso dovremmo prendere il risultato con il sengno più perché 

(1)/(2) arccos(3)/(5)∈ (0, π/2)

e in questo intervallo il seno è positivo.

Procediamo allo stesso modo per il coseno:

cos^2((arccos((3)/(5)))/(2)) = (1+cos(arccos((3)/(5))))/(2) = (1+(3)/(5))/(2) =

= (4)/(5)

Estraendo la radice quadrata membro a membro otteniamo:

cos((arccos((3)/(5)))/(2)) = ±√((4)/(5)) = ±(2)/(√(5))

Anche in questo caso dobbiamo prendere il risultato con il più.

Se hai domande sono qui :P

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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