Formule di bisezione per calcolare espressioni con arcocoseno

Question

Ciao! Potreste aiutarmi con questo esercizio sulle formule di bisezione? Devo valutare due espressioni in cui compare l'arcocoseno. Devo calcolare: sin((1)/(2) arccos((3)/(5))), cos((1)/(2) arccos((3)/(5))) Grazie mille!

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Iniziamo con il ricordare le formule di bisezione (al quadrato, è più facile): sin^2((t)/(2)) = (1-cos(t))/(2) cos^2((t)/(2)) = (1+cos(t))/(2) A questo punto si ha quindi che: sin^2((1)/(2) arccos(3)/(5)) = (1-cos(arccos(3)/(5)))/(2) Ricordando la relazione che sussiste tra coseno e arcocoseno: cos(arccos(t)) = t t∈ [-1, 1] Allora: cos(arccos(3)/(5)) = (3)/(5) Quindi: sin^2((1)/(2) arccos(3)/(5)) = (1-cos(arccos(3)/(5)))/(2) = (1-(3)/(5))/(2) = (1)/(5) Quindi abbiamo scoperto che: sin^2((1)/(2) arccos(3)/(5)) = (1)/(5) Quindi sin((1)/(2) arccos(3)/(5)) = ±(1)/(√(5)) In questo caso dovremmo prendere il risultato con il sengno più perché (1)/(2) arccos(3)/(5)∈ (0, π/2) e in questo intervallo il seno è positivo. Procediamo allo stesso modo per il coseno: cos^2((arccos((3)/(5)))/(2)) = (1+cos(arccos((3)/(5))))/(2) = (1+(3)/(5))/(2) = (4)/(5) Estraendo la radice quadrata membro a membro otteniamo: cos((arccos((3)/(5)))/(2)) = ±√((4)/(5)) = ±(2)/(√(5)) Anche in questo caso dobbiamo prendere il risultato con il più. Se hai domande sono qui :P