Equazione di secondo grado fratta con i radicali

Ho tra le mani un'equazione fratta di secondo grado a coefficienti irrazionali e di cui dovrei determinare l'insieme delle soluzioni. Purtroppo non so utilizzare a dovere le proprietà delle radici, per questo chiedo il vostro intervento.

Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione fratta di secondo grado

(x)/(√(2))−(2)/(x) = (x)/(2)−(√(2))/(x)

Grazie.

Domanda di Carly
Soluzione

In buona sostanza, il testo del problema ci chiede di risolvere l'equazione fratta di secondo grado

(x)/(√(2))−(2)/(x) = (x)/(2)−(√(2))/(x)

ma prima di effettuare qualsiasi passaggio algebrico, è necessario imporre le opportune condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori contenenti l'incognita siano non nulli, questo perché non è possibile dividere per zero.

C.E.: x ne 0

Fatto ciò, effettuiamo i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione fratta in forma canonica, ma prima è opportuno razionalizzare il denominatore del primo termine moltiplicandolo e dividendolo per √(2)

(x√(2))/(√(2)√(2))−(2)/(x) = (x)/(2)−(√(2))/(x) ; (√(2)x)/(2)−(2)/(x) = (x)/(2)−(√(2))/(x)

La razionalizzazione ha fatto sì che il radicale sparisse dal denominatore.

Trasportiamo tutti i termini al primo membro, prestando la massima attenzione ai segni dei termini che attraversano il simbolo di uguaglianza

(√(2)x)/(2)−(2)/(x)−(x)/(2)+(√(2))/(x) = 0

dopodiché sommiamo le frazioni algebriche: calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore e scriviamo

(√(2)x^2−4−x^2+2√(2))/(2x) = 0

Sotto le condizioni di esistenza, interviene il secondo principio di equivalenza delle equazioni, che consente di cancellare il denominatore e di scrivere l'equazione equivalente:

√(2)x^2−4−x^2+2√(2) = 0

Sommiamo i monomi simili tra loro e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita

(√(2)−1)x^2−4+2√(2) = 0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado - più precisamente a un'equazione pura - che risolviamo isolando x^2 al primo membro

(√(2)−1)x^2 = 4−2√(2)

Dividiamo i due membri per √(2)−1

x^2 = (4−2√(2))/(√(2)−1)

dopodiché razionalizziamo il denominatore del secondo membro, moltiplicando e dividendo per √(2)+1

x^2 = ((4−2√(2))(√(2)+1))/((√(2)−1)(√(2)+1))

Eseguiamo con molta cautela le moltiplicazioni tra i radicali

x^2 = (4√(2)+4−2√(2)·√(2)−2√(2))/((√(2))^2−1) ; x^2 = 2√(2)

Per questioni puramente estetiche, trasportiamo all'interno della radice 2

x^2 = √(2^2·2) → x^2 = √(8)

e infine ricaviamo le soluzioni dell'equazione pura

x_1 = −√(√(8)) ; x_2 = √(√(8))

Semplifichiamo l'espressione dei risultati avvalendoci della regola relativa alla radice di radice

x_1 = −[4]√(8) ; x_2 = [4]√(8)

e osserviamo che i valori ottenuti sono soluzioni dell'equazione fratta perché soddisfano le condizioni di esistenza.

Concludiamo dunque che l'equazione di partenza ammette due soluzioni e che il suo insieme soluzione è:

S = −[4]√(8),[4]√(8)

Abbiamo terminato.

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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