Soluzioni
  • In buona sostanza, il testo del problema ci chiede di risolvere l'equazione fratta di secondo grado

    \frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{2}{x}=\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{2}}{x}

    ma prima di effettuare qualsiasi passaggio algebrico, è necessario imporre le opportune condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori contenenti l'incognita siano non nulli, questo perché non è possibile dividere per zero.

    C.E.:\ x\ne 0

    Fatto ciò, effettuiamo i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione fratta in forma canonica, ma prima è opportuno razionalizzare il denominatore del primo termine moltiplicandolo e dividendolo per \sqrt{2}

    \\ \frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}-\frac{2}{x}=\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{2}}{x} \\ \\ \\ \frac{\sqrt{2}x}{2}-\frac{2}{x}=\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{2}}{x}

    La razionalizzazione ha fatto sì che il radicale sparisse dal denominatore.

    Trasportiamo tutti i termini al primo membro, prestando la massima attenzione ai segni dei termini che attraversano il simbolo di uguaglianza

    \frac{\sqrt{2}x}{2}-\frac{2}{x}-\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{2}}{x}=0

    dopodiché sommiamo le frazioni algebriche: calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore e scriviamo

    \frac{\sqrt{2}x^2-4-x^2+2\sqrt{2}}{2x}=0

    Sotto le condizioni di esistenza, interviene il secondo principio di equivalenza delle equazioni, che consente di cancellare il denominatore e di scrivere l'equazione equivalente:

    \sqrt{2}x^2-4-x^2+2\sqrt{2}=0

    Sommiamo i monomi simili tra loro e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita

    (\sqrt{2}-1)x^2-4+2\sqrt{2}=0

    Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado - più precisamente a un'equazione pura - che risolviamo isolando x^2 al primo membro

    (\sqrt{2}-1)x^2=4-2\sqrt{2}

    Dividiamo i due membri per \sqrt{2}-1

    x^2=\frac{4-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}

    dopodiché razionalizziamo il denominatore del secondo membro, moltiplicando e dividendo per \sqrt{2}+1

    x^2=\frac{(4-2\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}

    Eseguiamo con molta cautela le moltiplicazioni tra i radicali

    \\ x^2=\frac{4\sqrt{2}+4-2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2-1} \\ \\ \\ x^2=2\sqrt{2}

    Per questioni puramente estetiche, trasportiamo all'interno della radice 2

    x^2=\sqrt{2^2\cdot 2}\ \ \ \to \ \ \ x^2=\sqrt{8}

    e infine ricaviamo le soluzioni dell'equazione pura

    x_1=-\sqrt{\sqrt{8}} \ \ \ ; \ \ \ x_2=\sqrt{\sqrt{8}}

    Semplifichiamo l'espressione dei risultati avvalendoci della regola relativa alla radice di radice

    x_1=-\sqrt[4]{8}\ \ \ ; \ \ \ x_2=\sqrt[4]{8}

    e osserviamo che i valori ottenuti sono soluzioni dell'equazione fratta perché soddisfano le condizioni di esistenza.

    Concludiamo dunque che l'equazione di partenza ammette due soluzioni e che il suo insieme soluzione è:

    S=\left\{-\sqrt[4]{8},\sqrt[4]{8}\right\}

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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