Soluzioni
  • In buona sostanza, il testo del problema ci chiede di risolvere l'equazione fratta di secondo grado

    (x)/(√(2))-(2)/(x) = (x)/(2)-(√(2))/(x)

    ma prima di effettuare qualsiasi passaggio algebrico, è necessario imporre le opportune condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori contenenti l'incognita siano non nulli, questo perché non è possibile dividere per zero.

    C.E.: x ne 0

    Fatto ciò, effettuiamo i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione fratta in forma canonica, ma prima è opportuno razionalizzare il denominatore del primo termine moltiplicandolo e dividendolo per √(2)

     (x√(2))/(√(2)√(2))-(2)/(x) = (x)/(2)-(√(2))/(x) ; (√(2)x)/(2)-(2)/(x) = (x)/(2)-(√(2))/(x)

    La razionalizzazione ha fatto sì che il radicale sparisse dal denominatore.

    Trasportiamo tutti i termini al primo membro, prestando la massima attenzione ai segni dei termini che attraversano il simbolo di uguaglianza

    (√(2)x)/(2)-(2)/(x)-(x)/(2)+(√(2))/(x) = 0

    dopodiché sommiamo le frazioni algebriche: calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore e scriviamo

    (√(2)x^2-4-x^2+2√(2))/(2x) = 0

    Sotto le condizioni di esistenza, interviene il secondo principio di equivalenza delle equazioni, che consente di cancellare il denominatore e di scrivere l'equazione equivalente:

    √(2)x^2-4-x^2+2√(2) = 0

    Sommiamo i monomi simili tra loro e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita

    (√(2)-1)x^2-4+2√(2) = 0

    Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado - più precisamente a un'equazione pura - che risolviamo isolando x^2 al primo membro

    (√(2)-1)x^2 = 4-2√(2)

    Dividiamo i due membri per √(2)-1

    x^2 = (4-2√(2))/(√(2)-1)

    dopodiché razionalizziamo il denominatore del secondo membro, moltiplicando e dividendo per √(2)+1

    x^2 = ((4-2√(2))(√(2)+1))/((√(2)-1)(√(2)+1))

    Eseguiamo con molta cautela le moltiplicazioni tra i radicali

     x^2 = (4√(2)+4-2√(2)·√(2)-2√(2))/((√(2))^2-1) ; x^2 = 2√(2)

    Per questioni puramente estetiche, trasportiamo all'interno della radice 2

    x^2 = √(2^2·2) → x^2 = √(8)

    e infine ricaviamo le soluzioni dell'equazione pura

    x_1 = -√(√(8)) ; x_2 = √(√(8))

    Semplifichiamo l'espressione dei risultati avvalendoci della regola relativa alla radice di radice

    x_1 = -[4]√(8) ; x_2 = [4]√(8)

    e osserviamo che i valori ottenuti sono soluzioni dell'equazione fratta perché soddisfano le condizioni di esistenza.

    Concludiamo dunque che l'equazione di partenza ammette due soluzioni e che il suo insieme soluzione è:

    S = -[4]√(8),[4]√(8)

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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