Equazione di secondo grado fratta con i radicali

In buona sostanza, il testo del problema ci chiede di risolvere l'equazione fratta di secondo grado

ma prima di effettuare qualsiasi passaggio algebrico, è necessario imporre le opportune condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori contenenti l'incognita siano non nulli, questo perché non è possibile dividere per zero.

Fatto ciò, effettuiamo i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione fratta in forma canonica, ma prima è opportuno razionalizzare il denominatore del primo termine moltiplicandolo e dividendolo per

La razionalizzazione ha fatto sì che il radicale sparisse dal denominatore.

Trasportiamo tutti i termini al primo membro, prestando la massima attenzione ai segni dei termini che attraversano il simbolo di uguaglianza

dopodiché sommiamo le frazioni algebriche: calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore e scriviamo

Sotto le condizioni di esistenza, interviene il secondo principio di equivalenza delle equazioni, che consente di cancellare il denominatore e di scrivere l'equazione equivalente:

Sommiamo i monomi simili tra loro e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado - più precisamente a un'equazione pura - che risolviamo isolando al primo membro

Dividiamo i due membri per

dopodiché razionalizziamo il denominatore del secondo membro, moltiplicando e dividendo per

Eseguiamo con molta cautela le moltiplicazioni tra i radicali

Per questioni puramente estetiche, trasportiamo all'interno della radice 2

e infine ricaviamo le soluzioni dell'equazione pura

Semplifichiamo l'espressione dei risultati avvalendoci della regola relativa alla radice di radice

e osserviamo che i valori ottenuti sono soluzioni dell'equazione fratta perché soddisfano le condizioni di esistenza.

Concludiamo dunque che l'equazione di partenza ammette due soluzioni e che il suo insieme soluzione è:

Abbiamo terminato.