Equazione di secondo grado fratta con i radicali
Ho tra le mani un'equazione fratta di secondo grado a coefficienti irrazionali e di cui dovrei determinare l'insieme delle soluzioni. Purtroppo non so utilizzare a dovere le proprietà delle radici, per questo chiedo il vostro intervento.
Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione fratta di secondo grado
Grazie.
In buona sostanza, il testo del problema ci chiede di risolvere l'equazione fratta di secondo grado
ma prima di effettuare qualsiasi passaggio algebrico, è necessario imporre le opportune condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori contenenti l'incognita siano non nulli, questo perché non è possibile dividere per zero.
Fatto ciò, effettuiamo i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione fratta in forma canonica, ma prima è opportuno razionalizzare il denominatore del primo termine moltiplicandolo e dividendolo per
La razionalizzazione ha fatto sì che il radicale sparisse dal denominatore.
Trasportiamo tutti i termini al primo membro, prestando la massima attenzione ai segni dei termini che attraversano il simbolo di uguaglianza
dopodiché sommiamo le frazioni algebriche: calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore e scriviamo
Sotto le condizioni di esistenza, interviene il secondo principio di equivalenza delle equazioni, che consente di cancellare il denominatore e di scrivere l'equazione equivalente:
Sommiamo i monomi simili tra loro e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita
Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado - più precisamente a un'equazione pura - che risolviamo isolando al primo membro
Dividiamo i due membri per
dopodiché razionalizziamo il denominatore del secondo membro, moltiplicando e dividendo per
Eseguiamo con molta cautela le moltiplicazioni tra i radicali
Per questioni puramente estetiche, trasportiamo all'interno della radice 2
e infine ricaviamo le soluzioni dell'equazione pura
Semplifichiamo l'espressione dei risultati avvalendoci della regola relativa alla radice di radice
e osserviamo che i valori ottenuti sono soluzioni dell'equazione fratta perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Concludiamo dunque che l'equazione di partenza ammette due soluzioni e che il suo insieme soluzione è:
Abbiamo terminato.
Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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