Soluzioni
  • Ciao WhiteC arrivo =)

    Risposta di Ifrit
  • \lim_{n\to \infty}\left(\frac{\ln(2)}{\ln(x)}\right)^{2n}

    Innanzitutto osserviamo che x deve essere positivo e diverso da zero, altrimenti  il limite perde di significato

    \lim_{n\to \infty}\left(\frac{\ln(2)}{\ln(x)}\right)^{2n}

    Poniamo:

    t= \left(\frac{\ln(2)}{\ln(x)}\right)^2

    Il limite si riscrive come:

    \lim_{n\to \infty}t^n

    Ci siamo ricondotti ad un limite noto. 

    Se |t|\textless 1

    il limite è 0

    Se t\textgreater 1

    il limite diverge a più infinito

    Se t= 1

    Il limite è 1

    Quindi dobbiamo risolvere le varie condizioni:

    |t|\textless 1\iff \left(\frac{\ln(2)}{\ln(x)}\right)^2\textless 1

    Dobbiamo risolvere la disequazione logaritmica

    \ln^2(2)\textless \ln^2(x)

    Se e solo se:

    \ln(x)\textless -\ln(2)\vee \ln(x)\textgreater \ln(2)

    Da cui

    x\textless \frac{1}{2}\vee x\textgreater 2

    Quindi se 

    0\textless x\textless \frac{1}{2}\vee x\textgreater 2

    il limite è zero,

    Se

    \frac{\ln(2)}{\ln(x)}=1\iff \ln(x)= \ln(2)\iff x=2

    il limite è 1

    Infine se 

    t\textgreater 1\implies \left(\frac{ln(2)}{\ln(x)}\right)^2\textgreater 1\iff

    \ln^2(2)\textgreater ln^2(x)

    da cui:

    -\ln(2)\textless \ln(x)\textless \ln(2)

    Da cui

    \frac{1}{2}\textless x\textless 2\quad x\ne 1

    il limite è più infinito

    Risposta di Ifrit
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