Limite di una successione con parametro

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Qual è il metodo per svolgere il limite di una successione che dipende da un parametro reale x come questa? Come si calcola il limite, e come si distinguono i vari casi?

 

lim_(n → ∞)((ln(2))/(ln(x)))^(2n)

Domanda di WhiteC

 
Soluzioni

  • Ciao WhiteC arrivo =)

    Risposta di Ifrit

  • lim_(n → ∞)((ln(2))/(ln(x)))^(2n)

    Innanzitutto osserviamo che x deve essere positivo e diverso da zero, altrimenti  il limite perde di significato

    lim_(n → ∞)((ln(2))/(ln(x)))^(2n)

    Poniamo:

    t = ((ln(2))/(ln(x)))^2

    Il limite si riscrive come:

    lim_(n → ∞)t^n

    Ci siamo ricondotti ad un limite noto. 

    Se |t| < 1

    il limite è 0

    Se t > 1

    il limite diverge a più infinito

    Se t = 1

    Il limite è 1

    Quindi dobbiamo risolvere le varie condizioni:

    |t| < 1 ⇔ ((ln(2))/(ln(x)))^2 < 1

    Dobbiamo risolvere la disequazione logaritmica

    ln^2(2) < ln^2(x)

    Se e solo se:

    ln(x) < -ln(2) ∨ ln(x) > ln(2)

    Da cui

    x < (1)/(2) ∨ x > 2

    Quindi se 

    0 < x < (1)/(2) ∨ x > 2

    il limite è zero,

    Se

    (ln(2))/(ln(x)) = 1 ⇔ ln(x) = ln(2) ⇔ x = 2

    il limite è 1

    Infine se 

    t > 1 ⇒ ((ln(2))/(ln(x)))^2 > 1 ⇔

    ln^2(2) > ln^2(x)

    da cui:

    -ln(2) < ln(x) < ln(2)

    Da cui

    (1)/(2) < x < 2 x ne 1

    il limite è più infinito

    Risposta di Ifrit
 
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