Soluzioni
  • Il nostro compito consiste nel determinare le eventuali soluzioni dell'equazione logaritmica

    \frac{\log_{a}(10-x)}{\log_{a}(4-x)}=2

    al variare del parametro reale a. Osserviamo inoltre che siamo in presenza di un'equazione fratta, proprio perché l'incognita si manifesta anche al denominatore.

    Prima di eseguire qualunque passaggio algebrico, è necessario imporre le condizioni di esistenza:

    - gli argomenti dei logaritmi devono essere maggiori di zero;

    10-x>0 \ \ \ , \ \ \ 4-x>0

    - il denominatore al primo membro dev'essere diverso da zero;

    \log_{a}(4-x)\ne 0

    Affinché l'equazione sia ben posta dovremo richiedere inoltre che le basi dei logaritmi siano maggiori di zero e diverse da 1, dunque il parametro a dovrà soddisfare i vincoli

    a>0\ \ \ \mbox{e} \ \ \ a\ne 1

    e se ciò non dovesse succedere, l'equazione diventa priva di significato.

    Se a>0\ \mbox{e} \ a\ne 1, costituiamo il sistema di disequazioni che individua l'insieme di esistenza delle soluzioni è

    \begin{cases}10-x>0 \\ \\ 4-x>0\\ \\ \log_{a}(4-x)\ne 0\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x<10\\ \\ x<4\\ \\ 4-x\ne 1 \ \ \to \ \ \ x\ne 3\end{cases}

    L'equazione è quindi ben posta nel momento in cui l'incognita soddisfa i vincoli

    C.E.:\ x<4\ \ \ \wedge \ \ \ x\ne 3

    dove \wedge è il connettivo logico che indica la congiunzione "e". Noto l'insieme di esistenza delle soluzioni , possiamo procedere con i passaggi algebrici.

    Trattandosi di un'equazione fratta, trasportiamo tutti i termini al primo membro

    \frac{\log_{a}(10-x)}{\log_{a}(4-x)}-2=0

    Calcoliamo il denominatore comune

    \frac{\log_{a}(10-x)-2\log_{a}(4-x)}{\log_{a}(4-x)}=0

    e, una volta cancellato, scriviamo l'equazione nella forma

    \log_{a}(10-x)-2\log_{a}(4-x)=0

    A questo punto sfruttiamo la proprietà dei logaritmi

    A\log_{a}(B)=\log_{a}(B^A) \ \ \ \mbox{per ogni}\  B>0

    così da ottenere l'equazione

    \log_{a}(10-x)-\log_{a}[(4-x)^2]=0

    Sviluppiamo il quadrato di binomio

    \log_{a}(10-x)-\log_{a}(16-8x+x^2)=0

    e isoliamo \log_{a}(10-x) al primo membro

    \log_{a}(10-x)=\log_{a}(16-8x+x^2)

    Non ci resta che uguagliare gli argomenti, ricavando così l'equazione di secondo grado

    10-x=16-8x+x^2\ \ \ \to \ \ \ x^2-7x+6=0

    Posto

    a=1 \ \ \ , \ \ \ b=-7 \ \ \ , \ \ \ c=6

    utilizziamo la formula del delta per ottenere le soluzioni

    \\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot 1\cdot 6}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{7\pm\sqrt{49-24}}{2}=\frac{7\pm\sqrt{25}}{2}=\begin{cases}\frac{7-5}{2}=1=x_1\\ \\ \frac{7+5}{2}=6=x_2\end{cases}

    Tali valori si candidano come soluzione dell'equazione di partenza, ma solo x=1 è soluzione perché soddisfa i vincoli dettati dalle condizioni di esistenza, mentre x=6 non può essere soluzione perché viola la condizione x<4.

    In definitiva concludiamo che l'equazione

    \frac{\log_{a}(10-x)}{\log_{a}(4-x)}=2

    è soddisfatta unicamente da x=1 indipendentemente dal valore assunto dalla base a>0\ \mbox{e}\ a\ne 1.

    Risposta di Ifrit
 
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